Понятие линейного интеграла и его свойства

Задача о работе силы

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Пусть задано поле сил , под действием которых материальная точка движется по кривой от точки к точке . Вычислим совершаемую при этом работу. Для этого разобьем линию на частей точками с радиус-векторами (рис. 66). Рассмотрим вектор перемещения

и вектор силы . Их скалярное произведение приближенно равно работе силы вдоль дуги , т. е.

.

Вычислим работу вдоль всей линии :

.

Это равенство будет тем точнее, чем меньше длины векторов . Максимальную из этих длин обозначим и, переходя к пределу при , определим точное значение работы

.

Этот предел обозначают и называют линейным интегралом поля по дуге или криволинейным интегралом второго рода.

Отвлекаясь от физического содержания рассмотренной задачи, аналогичным образом вводят понятие линейного интеграла произвольного поля (риc. 4):

,

где ─ точки разбиения дуги , .

Отметим три свойства линейного интеграла:

1) (свойство линейности),

2) (свойство аддитивности),

3) ,

т. е. при изменении направления обхода кривой линейный интеграл меняет знак, т. к. векторы меняют свое направление на противоположное.

Выразив скалярное произведение векторов и через их координаты, получим

Выражение в скобки не заключают, хотя знак интеграла относится ко всему этому выражению. В формуле функции есть функции точки или ее координат . Интеграл называют векторной формой, а интеграл ─ координатной формой записи линейного интеграла.

В тех случаях, когда линейный интеграл поля берется по замкнутой кривой , он называется циркуляцией поля по кривой и обозначается так:

Приняты и другие обозначения циркуляции:

15. Лекционное занятие. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Правило вычисления линейных интегралов в следующих двух случаях.

1). Для вычисления интеграла по линии , заданной уравнениями , следует:

а) записать интеграл в координатной форме

б) заменить в функциях соответственно на ,

в) заменить соответственно на ,

г) найти интервал изменения параметра и вычислить получившийся определенный интеграл по этому интервалу.

2). Для вычисления интеграла по плоской линии с уравнением следует:

а) записать интеграл в координатной форме ,

б) заменить в функциях на ,

в) заменить на ,

г) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку .

3). В случае центрального поля следует учесть, что ; дифференцируя это равенство, получим и

т.е. линейный интеграл поля сведен к определенному интегралу.

Пример 1. Вычислить работу силы по прямолинейному перемещению из точки в точку .

Решение. Работа силы вычисляется по формуле

.

Для вычисления этого интеграла составим уравнение прямой :

.

Отсюда

Найдем значение параметра , соответствующее точке . Для этого подставим абсциссу точки в формулу . Получим . Аналогично найдем . Заменяя в интеграле их выражениями, получим

.

Пример 2. Найти циркуляцию поля вдоль линии , где ─ дуга параболы , ─ ломаная (рис. 1).

Решение. Циркуляцию поля вычислим по формуле

.

На отрезке имеем . Поэтому

.

На отрезке имеем . Поэтому

.

На дуге имеем . Поэтому

.

Окончательно, .

Пример 3. Вычислить циркуляцию поля по окружности радиусом с центром в начале координат, ориентированной против часовой стрелки.

Решение. Циркуляция поля вычисляется по формуле

.

Для вычисления этого интеграла запишем параметрические уравнения окружности : .

Рис. 2

Тогда , ; угол при движении против часовой стрелки меняется от до (рис. 2). Поэтому .