Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью . Найдем поле линейных скоростей точек тела и ротор этого поля.
Рассмотрим систему координат, направив ось по оси вращения (рис. 6). Как известно из кинематики, линейная скорость точки равна векторному произведению , где ─ радиус-вектор точки , , ─ вектор угловой скорости, направленный по оси вращения с длиной, равной величине угловой скорости , т. е. .
Найдем поле линейных скоростей:
.
Ротор этого поля вычислим по формуле:
Таким образом, ротор поля линейных скоростей в любой точке равен удвоенному вектору угловой скорости.
В произвольном поле его ротор, вычисленный в точке , также характеризует вращательную способность поля в этой точке.
15.3 Инвариантное определение ротора
Рассмотрим некоторую поверхность , содержащую точку , и единичный нормальный вектор этой поверхности (рис. 7). Вычислим по формуле Стокса циркуляцию поля по произвольному контуру , лежащему на поверхности :
.
Воспользуемся теоремой о среднем для поверхностного интеграла 1-го рода:
.
Переходя в последнем равенстве к пределу при стягивании поверхности в точку , получим:
.
Эту величину называют плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора . Плотность циркуляции, как проекция , принимает наибольшее значение, равное , когда векторы и сонаправлены. Поэтому получаем следующее инвариантное (не зависящее от системы координат) определение ротора.
Ротор поля в точке есть вектор, удовлетворяющий условиям:
а) в направлении этого вектора плотность циркуляции поля в точке принимает наибольшее значение,
б) по величине он равен наибольшей плотности циркуляции поля в точке
15.4 Дифференциальные свойства ротора
1) или постоянный вектор),
2) или радиус-вектор),
3) или
4) или
скалярное поле, векторное поле),
5) или константа),
6) или (постоянный вектор),
7) или .
Проверим эти свойства:
свойства 1) ─ 3) проверяются непосредственным вычислением,
свойство 5) есть следствие свойства 4) при ,
свойство 6) есть следствие свойства 4) при ,
7) по свойству 4) ротора , а по свойствам градиента . Учитывая, что , получим
.