2014-02-02
6005
Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью 
. Найдем поле линейных скоростей точек тела и ротор этого поля.
Рассмотрим систему координат, направив ось 
по оси вращения (рис. 6). Как известно из кинематики, линейная скорость 
точки 
равна векторному произведению 
, где 
─ радиус-вектор точки , 
, 
─ вектор угловой скорости, направленный по оси вращения с длиной, равной величине угловой скорости , т. е. 
.
Найдем поле линейных скоростей:
.
Ротор этого поля вычислим по формуле:
Таким образом, ротор поля линейных скоростей в любой точке равен удвоенному вектору угловой скорости.
В произвольном поле его ротор, вычисленный в точке , также характеризует вращательную способность поля в этой точке.
15.3 Инвариантное определение ротора
Рассмотрим некоторую поверхность 
, содержащую точку , и единичный нормальный вектор 
этой поверхности (рис. 7). Вычислим по формуле Стокса циркуляцию поля 
по произвольному контуру 
, лежащему на поверхности :
.
Воспользуемся теоремой о среднем для поверхностного интеграла 1-го рода:
.
Переходя в последнем равенстве к пределу при стягивании поверхности в точку , получим:
.
Эту величину называют плотностью циркуляции поля в точке в направлении вектора . Плотность циркуляции, как проекция 
, принимает наибольшее значение, равное 
, когда векторы 
и сонаправлены. Поэтому получаем следующее инвариантное (не зависящее от системы координат) определение ротора.
Ротор поля в точке есть вектор, удовлетворяющий условиям:
а) в направлении этого вектора плотность циркуляции поля в точке принимает наибольшее значение,
б) по величине он равен наибольшей плотности циркуляции поля в точке 
15.4 Дифференциальные свойства ротора
1) 
или 
постоянный вектор),
2) 
или 
радиус-вектор),
3) 
или 
4) 
или 
скалярное поле, 
векторное поле),
5) 
или 
константа),
6) 
или 
(
постоянный вектор),
7) 
или 
.
Проверим эти свойства:
свойства 1) ─ 3) проверяются непосредственным вычислением,
свойство 5) есть следствие свойства 4) при 
,
свойство 6) есть следствие свойства 4) при 
,
7) по свойству 4) ротора 
, а по свойствам градиента 
. Учитывая, что 
, получим
.
