Формулы Грина и Стокса. Ротор поля

Часто удобно вычислять циркуляцию плоского поля по формуле Грина, а циркуляцию пространственного поля

─ по формуле Стокса.

Если при обходе замкнутого контура ограниченная область остается слева,

то направление обхода называют положительным. Обход в противоположном направлении называют отрицательным.

Теорема 1. Пусть функции и их частные производные непрерывны в области с положительно ориентированной границей . Тогда имеет место следующая формула Грина:

Доказательство проведем для области , описываемой неравенствами (рис. 3).

Сначала проверим равенство

Сведем криволинейный интеграл к определенному интегралу, подставляя на линии и на линии :

Теперь преобразуем двойной интеграл, сведя его сначала к повторному, а затем к определенному интегралу:

И криволинейный, и двойной интегралы из формулы (11.6) равны одному и тому же определенному интегралу и, следовательно, равны между собой. Аналогично проверяется равенство

Складывая равенства, получим формулу Грина.

Замечание. Нарушение условий теоремы Грина может привести к неверным результатам. Например, для поля нетрудно проверить, что

но циркуляция поля по окружности с центром в начале координат отлична от нуля, . В этом примере нарушены условия теоремы Грина, т.к. внутри контура содержится точка , в которой функции не определены.

Пример 4. Используя формулу Грина, вычислить циркуляцию поля вдоль линии (рис. 3).

Решение. Вычислим циркуляцию , используя формулу Грина для : .

Для обобщения формулы Грина на пространственный случай введем понятие ротора векторного поля .

Ротором векторного поля называется вектор

При вычислении следует разложить определитель по элементам первой строки. Учитывая, что и т. д., получим

Понятие ротора позволяет удобно вычислять циркуляцию векторного поля, опираясь на следующую теорему (доказательство теоремы опустим).

Теорема 2. Пусть функции и их частные производные непрерывны на ориентированной поверхности , натянутой на контур , причем ориентации контура и поверхности согласованы. Тогда имеет место следующая формула Стокса:

В этой формуле ориентации контура и поверхности согласованы, т. е., глядя с конца выбранных нормальных векторов поверхности , обход контура виден против часовой стрелки (рис. 4).

Итак, по формуле Стокса циркуляция поля по контуру равна потоку ротора поля через поверхность , натянутую на контур .

Пример 5. Для поля найти его циркуляцию по окружности , лежащей в плоскости и ориентированной против часовой стрелки, если смотреть с конца оси (рис. 5).

Решение. Циркуляция поля вычисляется по формуле . Непосредственное вычисление этого интеграла достаточно трудоемко. Посмотрим, облегчит ли вычисление циркуляции применение формулы Стокса. Для этого вычислим ротор

По формуле Стокса имеем:

В качестве поверхности , натянутой на окружность, возьмем круг, ограниченный этой окружностью. Нормальный вектор к этой поверхности направлен вдоль оси , т.е. ; скалярное произведение ;