Понятие об устойчивости

Устойчивость линейных систем

Статические и астатические системы

Система, в структуре которой нет последовательно присоединенного интегрирующего звена, называется статической. Примером может служить последовательное соединение звеньев с передаточными функциями

Система, в структуре которой есть последовательно присоединенное интегрирующее звено, называется астатической.

В знаменателе появился множитель: комплексная переменная p. Последовательное присоединение еще одного интегрирующего звена даст множитель p ². Говорят, в первом случае система обладает астатизмом первой степени, во втором – второй степени. В общем случае – астатизмом степени n. Т.о. по тому, нет или есть в знаменателе передаточной функции множитель pⁿ, системы делятся на два класса: статические и астатические.

В статической системе при постоянном входном воздействии выходная величина со временем становится постоянной, принимая значение, отличное от первоначального. В астатической системе при постоянном входном воздействии выходная величина непрерывно изменяется.

Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.

Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.

Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением. Оно было записано для разомкнутой системы в главе 2:

(2.1)

Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением

. (5.1)

Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y (t) = e^pt. Беря производные и подставляя в уравнение (5.1) находят характеристическое уравнение

(2.7)

решая которое, получают корни p_i. Полное решение уравнения (5.1) слагается из экспонент:

(5.2)

где С_i – постоянные интегрирования.

Функция y (t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корней p_i.

Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y (t) ® 0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.

Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y (t) ® ∞. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.

Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y (t) ® 0. Система, следовательно, устойчивая.

В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частьюсистема неустойчивая.

При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.