2014-02-02
592
Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.
Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Как было показано в Главе 2, дифференциальному уравнению (2.1) соответствует передаточная функция
, (2.6)
где,
.
Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:
(5.3)
Дифференциальные уравнения (2.1), (5.1) и передаточная функция (2.6) описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение (5.3) тоже относится к разомкнутой системе.
Зная передаточную функцию разомкнутой системы W (p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы:. (4.6)
Хактеристическое уравнение замкнутой системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы:. (5.6)
5.2. Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости
В инженерной практике не всегда удобно проверять устойчивость линейной системы по корням характеристического уравнения. Это связано в первую очередь с необходимостью использования ЦВМ, поскольку для алгебраических уравнений выше 3-его порядка требуется использование численных методов.
|
|
|
Кроме того, часто требуется определять область устойчивости системы по параметрам. При этом вычисление корней характеристического уравнения для множества значений параметров является нерациональным. В связи э этим возникает задача определения устойчивости системы без вычисления корней, т.е. определения условий при которых корни характеристического уравнения левые. Методы решающие указанную задачу называются критериями устойчивости. В зависимости от метода решения задачи критериями устойчивости делятся на алгебраические и частотные критерии. Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения системы, а частотные – по виду соответствующих частотных характеристик.
Как следует из предыдущего пункта, устойчивость или неустойчивость системы зависит от корней характеристического уравнения, в свою очередь, корни зависят от коэффициентов характеристического уравнения, поэтому естественно желание найти критерии устойчивости без расчёта корней, рассматривая непосредственно коэффициенты характеристического уравнения.
Среди большого количества коэффициентных критериев устойчивости будем рассматривать
