double arrow

Критерий Гурвица. Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная

Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.

Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Как было показано в Главе 2, дифференциальному уравнению (2.1) соответствует передаточная функция

, (2.6)

где ,

.

Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:

(5.3)

Дифференциальные уравнения (2.1), (5.1) и передаточная функция (2.6) описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение (5.3) тоже относится к разомкнутой системе.

Зная передаточную функцию разомкнутой системы W(p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы: . (4.6)

Хактеристическое уравнение замкнутой системы, выраженное через передаточную функцию разомкнутой системы: . (5.6)

5.2. Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости

В инженерной практике не всегда удобно проверять устойчивость линейной системы по корням характеристического уравнения. Это связано в первую очередь с необходимостью использования ЦВМ, поскольку для алгебраических уравнений выше 3-его порядка требуется использование численных методов.

Кроме того, часто требуется определять область устойчивости системы по параметрам. При этом вычисление корней характеристического уравнения для множества значений параметров является нерациональным. В связи э этим возникает задача определения устойчивости системы без вычисления корней, т.е. определения условий при которых корни характеристического уравнения левые. Методы решающие указанную задачу называются критериями устойчивости. В зависимости от метода решения задачи критериями устойчивости делятся на алгебраические и частотные критерии. Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения системы, а частотные – по виду соответствующих частотных характеристик.

Как следует из предыдущего пункта, устойчивость или неустойчивость системы зависит от корней характеристического уравнения, в свою очередь, корни зависят от коэффициентов характеристического уравнения, поэтому естественно желание найти критерии устойчивости без расчёта корней, рассматривая непосредственно коэффициенты характеристического уравнения.

Среди большого количества коэффициентных критериев устойчивости будем рассматривать