Критерий Михайлова. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости

Для характеристического уравнения.

составляется специальный определитель по следующему правилу.

Намечают n строк и n столбцов (n – степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты:,,,... По главной диагонали, начиная с коэффициента, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями. Получается определитель n -го порядка:

Определитель Δ _n, а так же определители

,,,...,называют определителями Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными все коэффициенты и все определители характеристического уравнения системы:

,,, …, > 0,,,, …, > 0.

Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.

1. Характеристическое уравнение 2-й степени:.

Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:

=.

Условие устойчивости: ,, > 0, все коэффициенты должны быть положительными.

2. Характеристическое уравнение 3-й степени:.

Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:

=.

Определитель =. Неравенство, после сокращения на, получает вид. То есть,. Условиями устойчивости будут:,.

Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.

Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ _{n -1} = 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

, (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая, преобразуем характеристический полином в частотный полином:

.

В зависимости от степени, число (j ω )ⁿ либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U (ω) и мнимую часть V (ω):

, (5.7)

(5.8)

. (5.9)

U (ω) – четная функция ω, V (ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты ω₁, из (5.8) и (5.9) получим числа U (ω₁) и V (ω₁). Вместе они образуют комплексное число D (j ω₁). На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U, V), рис. 5.1. Множество точек М(U, V), отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова. Годографы Михайлова имеют разный вид для устойчивых и неустойчивых систем.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U (0) = a_n, V (0) = 0, рис. 5.1. По мере увеличения ωот нуля до бесконечности, точка М(U, V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U, V), то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль частотного полинома | D (j ω)|, а угол φ(ω) – аргумент. Модуль имеет величину, аргумент равен.

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5). Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке a_n,последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n -м квадранте, - система устойчива.

Рис.5.1. Геометрическое представление частотного полинома D (j ω)

Рис. 5.2. Годографы Михайлова для разных степеней полиномов

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.

Рис. 5.3. Годографы Михайлова неустойчивых систем

Рис. 5.4. Годографы Михайлова систем на границе устойчивости

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.