2014-02-02
556
Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
, (3.7)
при условии (D=b2-4ac, b2<4ac), корни уравнения комплексные.
Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания ξ и резонансной частотой ω0. Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): ξ = Т 0/2 Т, ω0 = 1/ Т. Если ввести ξ в уравнение (3.7), оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:
2 ξ Т + y = kx. (3.8)
Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение
(T 2 p 2 + 2 ξ Tp + 1) Y (p) = kX (p),
из которого получается передаточная функция.
Если выходная величина не изменяется (dy / dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: K (0) = k.
Комплексная частотная характеристика звена
Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:
,.
| На рис. 13 приведен график АФЧХ, из которого следует, что при изменении 0 <= w <µ ФЧХ изменяется -p<= j(w)<=0. При ξ = 0 ФЧХ имеет скачок фазы со значения 0 до -p, при этом АЧХ имеет бесконечно большое значение. Амплитудная частотная характеристика колебательного звена . |
У колебательного звена кривая A (ω) имеет пик, вершина которого отвечает частоте ω0 = 1/ T (рис. 3.7). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2ξ. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.
|
|
|
Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от ω = 0 до ω = 1/ T рассчитывается по формуле
Рис. 3.7. Зависимость амплитуды от частоты. 1 – ξ = 0,20, 2 – ξ = 0,5, 3 – ξ = 0,75
Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика колебательного звена. 1– ξ=0,2, 2– ξ=0,4, 3– ξ=0,8
Рис. 3.9. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 < ξ < 1
При ω = 0 φ(ω) = 0. Значению ω0 = 1/ T соответствует запаздывание – 90 °. С увеличением ω запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле.
Характер кривых показан на рис. 3.8.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:
L (ω) = 20 lg k – 10 lg [(1- T 2ω2)2 + 4 ξ2 T 2ω2].
Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания ξ. В интервале 0,3 < ξ < 1 приемлемо асимптотическое представление. В области ω < 1 L 1 = 20 lg k. В области ω > 1 L 2 = 20 lg (k / T 2) – 40 lg ω. Условие сопряжения прямых ω0 = 1/ T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L 2 c осью абсцисс при ω = / T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.9.
В случае ξ < 0,3 нужно пользоваться точной ЛАЧХ из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.
При ξ = 0 колебательное звено называется консервативным, имеющего пару чисто мнимых полюсов p 1,2 =± j 1/ T.
|
|
|
Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:
, где ω0 = 1/ T,.
Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше ξ. При ξ = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.
