double arrow

Колебательное звено. Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии ( D=b2-4ac, b2<4ac), корни уравнения комплексные.

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания ξ и резонансной частотой ω0. Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): ξ = Т0/2Т, ω0 = 1/Т. Если ввести ξ в уравнение (3.7), оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2 ξ Т + y = kx. (3.8)

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T2p2 + 2 ξ Tp + 1) Y(p) = kX(p),

из которого получается передаточная функция .

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: K(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

, .

  На рис. 13 приведен график АФЧХ, из которого следует, что при изменении 0 <=w<µ ФЧХ изменяется -p<= j(w)<=0. При ξ = 0 ФЧХ имеет скачок фазы со значения 0 до -p, при этом АЧХ имеет бесконечно большое значение. Амплитудная частотная характеристика колебательного звена .

У колебательного звена кривая A(ω) имеет пик, вершина которого отвечает частоте ω0 = 1/T (рис. 3.7). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2ξ. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от ω = 0 до ω = 1/T рассчитывается по формуле

Рис. 3.7. Зависимость амплитуды от частоты. 1 – ξ = 0,20, 2 – ξ = 0,5, 3 – ξ = 0,75

Рис. 3.8. Фазовая частотная характеристика колебательного звена. 1– ξ=0,2, 2– ξ=0,4, 3– ξ=0,8

Рис. 3.9. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 < ξ < 1

При ω = 0 φ(ω) = 0. Значению ω0 = 1/T соответствует запаздывание – 90 °. С увеличением ω запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле .

Характер кривых показан на рис. 3.8.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L(ω) = 20 lg k – 10 lg [(1-T2ω2)2 + 4 ξ2T2ω2].

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания ξ. В интервале 0,3 < ξ < 1 приемлемо асимптотическое представление. В области ω < 1 L1 = 20 lgk. В области ω > 1 L2 = 20 lg (k/T2) – 40 lg ω. Условие сопряжения прямых ω0 = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L2 c осью абсцисс при ω = /T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.9.

В случае ξ < 0,3 нужно пользоваться точной ЛАЧХ из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.

При ξ = 0 колебательное звено называется консервативным, имеющего пару чисто мнимых полюсов p1,2 =± j1/T .

Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:

, где ω0 = 1/T, .

Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше ξ. При ξ = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.


Сейчас читают про: