Структурные схемы САУ и их эквивалентное преобразование

Построение и анализ структурных схем

Структурная схема – это графическое представление системы регулирования звеньями с указанием связей между ними. Вместо реальных сигналов рассматриваются их изображения по Лапласу.

Динамическое звено – это элемент, преобразующий сигнал. Имеет математическое описание в виде передаточной функции. Выходящий и входящий сигналы связаны операторным уравнением Y (p) = K (p) X (p), где K (p) – передаточная функция звена.

Сумматор. Элемент, который осуществляет алгебраическое сложение сигналов: X (p) = X ₁(p) + X ₂(p).

Узел. Элемент, который разветвляет входящий сигнал на идентичные; каждый из отходящих от узла сигналов в точности равен входящему.

Для составления структурных схем приняты следующие обозначения. (Далее аргумент p у функций Y, X, K опускается).

Динамическое звено. Стрелками указывают направление сигнала, то есть обозначают вход и выход.
Сумматор. Сигнал Х 3 на выходе есть сумма входящих сигналов. Если один из входящих сигналов вычитается, сектор в который он входит, зачерняется или рядом ставят знак «минус».
Узел. На выходе два и более сигналов, идентичных входящему.
Если надо указать, что в данном месте сигнал меняет знак без изменения величины, то это обозначают тремя способами:

Структурная схема, входная и выходная считаются заданными. Ставиться задача определить передаточную функцию системы.

Функциональная схема САУ состоит из соединений ФЭ, выделенных отдельными блоками, точки обозначают ветвление сигнала, перечеркнутый кружок со стрелками означает суммирование сигнала, если сектор закрашен, то это означает вычитание сигнала. Если ФЭ заменить их передаточными функциями, то получится структурная схема системы.

Установим правила преобразования структурных схем для основных видов соединений ФЭ. Для простоты обозначений на структурных схемах вместо изображений Лапласа сигналов будем указывать обозначения их оригиналов, в передаточных функциях опускать оператор p.

1. Последовательное соединение звеньев передаточных функций ФЭ представлено на рис. 1, которому соответствует эквивалентная передаточная функция W.

Рис. 1 Рис. 2

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости: y ₁ = W ₁ u, y ₂ = W ₂ y ₁, …, y = W_n y_{n -1}.

Исключая последовательно промежуточные переменные y 1, …, y_{n -1} получим выражение y = W_n... W ₂ W ₁ u = Wu.

Таким образом, для последовательно соединенных передаточных функций эквивалентная передаточная функция определяется по формуле.

и структурную схему можно представить с помощью эквивалентного блока согласно рис. 2.

2. Параллельное соединение звеньев передаточных функций ФЭ представлено на рис. 3, которому соответствует эквивалентная передаточная функция W.

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

y ₁ = W ₁ u, y ₂ = W ₂ u, …, y = W_nu,

y = y ₁ + y ₂ +... + y_n.

Исключая промежуточные переменные y ₁, …, y_n получим выражение

y = (W ₁ + W ₂ +... + W_n) u = W u.

Таким образом, для параллельно соединенных передаточных функций эквивалентная передаточная функция определяется по формуле

Рис. 3 Рис. 4

3. Соединение с обратной связью передаточных функций ФЭ представлено на рис. 4, которому соответствует эквивалентная передаточная функция W.

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

e = g –W_ос y (3)

y = W e

Исключая промежуточную переменную e получим выражение

y = W(g –W_ос y),

y=(W/(1+W W_ос)) g

из которого найдем

y=(W/(1+W_раз)) g

W W_ос = W _раз– передаточная функция разомкнутой системы (разомкнутой перед устройством сравнения)

Таким образом, для соединения с отрицательной обратной связью эквивалентная передаточная функция выхода от входа определяется по формуле

W_yg(p)=W(p)/(1+W_раз(p)) (4)

Для соединений с обратной связью необходимо также знать передаточную функцию ошибки eот входа g. Исключая из уравнений (3) промежуточную переменную y, получим выражение по ошибке

e = g - W _ос W e,

из которого найдем

e = 1/(1+W_раз(p)) g.

Таким образом, для соединения с отрицательной обратной связью эквивалентная передаточная функция выхода e от входа g определяется по формуле

W_eg(p)=1/(1+W_раз(p)). (5)

3. Обобщенная структурная схема соединения звеньев передаточных функций ФЭ представлена на рис. 5, для которой справедливы следующие зависимости:

Рис. 5

g и f – входы

y и e - выходы

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

e=g – W_ос y

y = W₂(W₁e - W^f f) (6)

Найдем сначала зависимость выхода y от входных сигналов, исключая из уравнений (6) промежуточную переменную e. В результате получим уравнение

y = W₂ (W₁(g – W_ос y)-W^f f,

из которого следует выражение

W_раз = W ₁ W ₂ W _ос

y = (W ₁ W ₂/1+ W_раз) g -(W ^f W ₂/1+ W_раз) f =W_yg g- W_yf f

с передаточными функциями по каналу "вход-выход"

W_yg= W ₁ W ₂/(1+ W_раз) (7)

и каналу "возмущение-выход"

W_yf (p) = - W ^f (p) W ₂(p) /(1+ W_раз(p)), (8)

Найдем теперь зависимость ошибки eот входных сигналов, исключая из уравнений (6) промежуточную переменную y. После аналогичных преобразований получим выражение

e = (1 /(1+ W_раз)) g + (W ^f W ₂ W_ос/(1+ W_раз)) f =W_eg g + W_ef f,

с передаточными функциями по каналу "вход-ошибка"

W_eg(p) = 1 /(1+ W_раз(p)), (9)

и каналу "возмущение-ошибка"

W_ef (p) = W ^f (p) W ₂(p) W_ос(p) /(1+ W_раз(p)). (10)

Для облегчения запоминания формул (7)-(10) можно пользоваться следующим правилом: в числителе искомой передаточной функции указывается произведение передаточных функций по пути прохождения выбранного входного сигнала с учетом знаков сумматоров, через которые проходит сигнал, до заданного выходного сигнала; в знаменателе передаточной функции указывается выражение 1 - W_раз(p) (для отрицательной обратной связи).

Знак «плюс» в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи. В случае положительной обратной связи ставиться знак «минус».

Обратная связь через усилительное звено называется жесткой, через дифференцирующее звено – мягкой.

Если в линии обратной связи звено отсутствует, и выходной сигнал системы непосредственно подается на вход, то W_ос(р) = 1.

Перестановка структурных элементов в схемах

1. Перенос узла через блок по ходу движения сигнала (рис. 6).

Рис. 6

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: z = u и z = W ^-1 Wu = u.

2. Перенос узла через блок против хода движения сигнала (рис. 7).

Рис. 7

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: z = y = Wu и z = Wu.

3. Перенос сумматора через блок по ходу движения сигнала (рис. 8).

Рис. 8

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: y = W (u + z) и y = Wu +Wz =W (u + z).

4. Перенос сумматора через блок против движения сигнала (рис. 9).

Рис. 9

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: y = Wu + z и y = Wu +WW ^-1 z = Wu + z.