Комплексная частотная передаточная функция

Частотные характеристики ДИНАМИЧЕСКИХ звеньев и систем автоматического управления.

В основу методов исследования и расчета систем автоматического управления положены частотные характеристики звеньев направленного действия. Частотные характеристики показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного гармонического сигнала звена направленного действия относительно входного в зависимости от частоты этого сигнала. Частотные характеристики могут рассматриваться не только для простейших звеньев, но и сложных функциональных элементов или САУ в целом.

Рассматривается передача линейным звеном направленного действия гармонического сигнала x (ω t) cамплитудой А_x, угловой частотой ω, начальной фазой θ _x:

.

На выходе звена в установившемся режиме гармонический сигнал y (ω t) имеет ту же частоту, но изменившиеся амплитуду А_y и фазу θ _y:

.

Изменения гармонического сигнала при передаче его звеном можно характеризовать отношением амплитуд и разностью фаз ψ = θ _у –θ _х.

Если угловую частоту гармонического сигнала изменять в широком диапазоне, можно получить зависимость относительного изменения амплитуды А (ω) и фазы ψ(ω) сигнала при передаче его звеном, функциональным элементом или системой. Такие зависимости называют амплитудно-частотными (АЧХ) и фазо-частотными (ФЧХ) характеристиками.

Гармонические сигналы x (ω t) и y (ω t) можно представить на комплексной плоскости в виде векторов , , вращающихся с угловой частотой ω. Модуль каждого вектора равен амплитуде соответствующего сигнала, а их положение на комплексной плоскости определяется начальными фазами. Векторы этих сигналов в комплексной форме имеют следующее выражение:

;

.

Комплексной частотной функцией (комплексным коэффициентом передачи) называют отношение векторавыходного гармонического сигнала к вектору входного сигнала :

.

Таким образом, комплексная частотная передаточная функция характеризует относительное изменение амплитуды А и фазы ψ гармонического сигнала при передаче его звеном или системой. На комплексной плоскости частотную передаточную функцию можно представить вектором :

.

Модуль вектора есть отношение амплитуд, а фаза вектора ψ = θ_y – θ_x – разность фаз входного и выходного гармонических сигналов.

При анализе частотных характеристик более удобной является алгебраическая форма записи комплексной частотной функции с выделением вещественной Re W (j w) и мнимой Im W (j w) частей:

.

При обратном преобразовании для определения модуля и фазы вектора комплексной частотной функции используют известные соотношения:

;

.