double arrow

Пример 2.5


Процесс в объекте описывается дифференциальным уравнением Найти переходную функцию.

Вводим условие единичного ступенчатого воздействия, полагая x = 1. Ищем решение дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях. Решением будет переходная функция h(t), поэтому сразу можно y(t) заменить на h(t).

Общее решение неоднородного уравнения

есть сумма решений h1 + h2. Первое получают, решая однородное уравнение

.

Решением будет Второе решение h2 есть частное решение неоднородного уравнения, которое можно выбрать как h2 = k. Общим решением будет:

C учетом того, что h = 0 при t = 0, окончательное выражение для переходной функции получается в виде:

.

 
Пример 2.6.

Найти переходную функцию для системы, описываемой дифференциальным уравнением

Запишем операторное уравнение

(5p + 1) Y(p) = (3p + 2) X(p)

в виде

Множитель при X(p) есть не что иное, как передаточная функция. X(p) – изображение произвольного воздействия. Воздействие в виде единичного ступенчатого скачка имеет изображение X(p) = 1/p. Если в операторном уравнении заменить X(p) на 1/p , то на Y(p) накладывается требование быть изображением переходной функции. Подчеркивая это, заменим Y(p) на H(p). Получаем операторное уравнение для переходной функции:

.

Прежде чем воспользоваться таблицей изображений по Лапласу, представим правую часть уравнения в виде суммы:

.

В таблице находим оригиналы по их изображениям:

,

,

.

В нашем случае T = 5. Множители 3 и 2 сохраняют свое значение и место. Окончательно

,

или

h(t) = 2 – 1,4e -t / 5 .


Сейчас читают про: