Частотные характеристики

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = s + jw. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = jw, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полиномВ(jw) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.

Частотный полином D(jw) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D(jw) = D₁(w) + jD₂(w) ,

Следовательно комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U(w), второе V(w). U(w) называют действительной частотной характеристикой, V(w) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W(jw) = U(w) + jV(w) . (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V(w)

М

A V

j

0 U U(w)

Рис. 2.1.

Для заданной частоты U(w) и V(w) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М , получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: , ,

, . (2.10)

Все величины – функции частоты w.

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W(jw) = U(w ) + jV(w) = A ( cos j(w) + j sin j(w) ).

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А(w) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. j(w) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Пример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

.

Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

(p² + 3p + 1) Y(p) = 2 X(p)

и передаточную функцию:

.

Подстановкой p = jw превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

.

Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

.

Амплитуда

.

Фаза

.

Пример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регу-лятора). Его уравнение

.

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

.

Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

.

Полагая p = jw, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

U(w) = k , V(w) = -,

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

.

Пример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ-регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

L(w) = 20 lg A(w) = 10 lg(k²T²w² + 1) – 20 lg Tw .

Выделим асимптотические прямые.

В области w < 1 . С уменьшением w слагаемое k²T²w² становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L(w) обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается

L₁ = - 20 lgT – 20 lg w .

В области w > 1 . В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае

L₂ = 20 lg k + 20 lg Tw - 20 lg Tw = 20 lg k.

Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L₁ c осями координат и с прямой L₂ . (По ординате откладывают L₁, L₂, по абсциссе lg w).

Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg w = 0. Получается: L₁ = -20 lg T = 20 lg (1/T).

Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L₁ = 0. Получается: lgw = lg (1 / T) .

Точка пересечения прямой L₁ с прямой L₂ находится из условия L₁ = L₂ . Получается: lg w = lg (1 / kT) .

Вид графика показан на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ-регулятора