Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p = s + jw. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = jw, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:
. (2.8)
Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.
По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полиномВ(jw) в развернутом виде,
,
представляет собой сумму действительной и мнимой частей:
.
Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.
Частотный полином D(jw) в развернутом виде имеет ту же структуру:
D(jw) = D1(w) + jD2(w) ,
Следовательно комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:
.
Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:
.
Первое слагаемое обозначим U(w), второе V(w). U(w) называют действительной частотной характеристикой, V(w) - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи
W(jw) = U(w) + jV(w) . (2.9)
Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.
V(w)
М
A V
j
![]() |
0 U U(w)
Рис. 2.1.
Для заданной частоты U(w) и V(w) – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М , получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: ,
,
,
. (2.10)
Все величины – функции частоты w.
Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде
W(jw) = U(w ) + jV(w) = A ( cos j(w) + j sin j(w) ).
По формуле Эйлера . Поэтому
. (2.11)
А(w) называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. j(w) называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.
|
Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением
.
Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение
(p2 + 3p + 1) Y(p) = 2 X(p)
и передаточную функцию:
.
Подстановкой p = jw превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:
.
Действительная частотная характеристика
.
Мнимая частотная характеристика
.
Амплитуда
.
Фаза
.
|
Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регу-лятора). Его уравнение
.
(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).
Продифференцируем исходное уравнение,
и преобразуем по Лапласу:
.
Из операторного уравнения составим передаточную функцию:
.
Полагая p = jw, записываем комплексную частотную характеристику
,
находим частотные характеристики:
U(w) = k , V(w) = -,
и амплитудную частотную характеристику:
.
Фаза в функции частоты имеет выражение
.
|
Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ-регулятора.
Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:
L(w) = 20 lg A(w) = 10 lg(k2T2w2 + 1) – 20 lg Tw .
Выделим асимптотические прямые.
В области w < 1 . С уменьшением w слагаемое k2T2w2 становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L(w) обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается
L1 = - 20 lgT – 20 lg w .
В области w > 1 . В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае
L2 = 20 lg k + 20 lg Tw - 20 lg Tw = 20 lg k.
Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L1 c осями координат и с прямой L2 . (По ординате откладывают L1, L2, по абсциссе lg w).
Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg w = 0. Получается: L1 = -20 lg T = 20 lg (1/T).
Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L1 = 0. Получается: lgw = lg (1 / T) .
Точка пересечения прямой L1 с прямой L2 находится из условия L1 = L2 . Получается: lg w = lg (1 / kT) .
Вид графика показан на рис. 2.1.
Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая
амплитудная частотная характеристика ПИ-регулятора