Свойства непрерывных функций

Все степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции непрерывны в областях существования.

1) Сумма непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Действительно, из определения 1 непрерывности следует, что если и , то

.

2). Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

3). Частное непрерывных функций – функция непрерывная, если знаменатель в предельной точке не равен нулю.

Доказательства второго и третьего свойств также следует из свойств пределов.

4). Пусть функция непрерывна в точке , пусть функция непрерывна в точке . Тогда функция непрерывна в точке .

Очевидно, что

.

Так как согласно определению 3 непрерывности при и при , получим: при .

Таким образом, непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.

Пример. Функция непрерывна во всех точках числовой оси, так как функция непрерывна на , а функция непрерывна на множестве неотрицательных чисел.