Второй замечательный предел и его следствия

Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным пределом:

Равносильность этих формул следует из связи переменных: .

Мы получали число Непера из подобной формулы, где была последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных формул переменная может стремиться как к , так и к , а также может просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная формула имеет следующие следствия.

1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул, мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:

.

2. Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой :

.

3. Рассмотрим теперь предел . Сделаем замену . При такой замене тогда и только тогда, когда . Получим