2014-02-02
341
Докажем, что справедлива формула:
.
Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции 
отношение 
при 
, близком к 0, положительно при любом знаке . Достаточно предположить, что 
приближается к 0, оставаясь положительным. В противном случае мы сменим знак , что не повлияет на результат. Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным 
. BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.
В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: 
. Имеем 
. Поэтому получаем неравенство 
. Если мы поделим все части этого неравенства на 
, то в силу предположения о знаке знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем 
. А теперь устремим к нулю и применим теорему о двух полицейских. Мы получим 
. Осталось применить свойство 5) пределов для получения предела обратной величины: .
