Пример 5.8

Разомкнутая система имеет передаточную функцию

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

0,009p³ + 0,02p² +1,1p + 10 = 0.

Комплексный частотный полином, нечетный и четный полиномы:

D(jw) = - j 0,009w³ – j 1,1w + 10 – 0,02 w² ,

V(w) = 1,1w - 0,009w³,

U(w) = 10 – 0,02 w² .

Частоты пересечения:

V(w) = 0, w₁ = 0, w₃ = 11,0 .

U(w) = 0, w₂ = 22,4 .

Требование чередования частот при последовательном возрастании не выполняется:

w₁ < w₂ > w₃ .

Следовательно, система неустойчива.

Подтверждение этому получим, вычислив значения угла поворота вектора D(jw) при частотах пересечения с осями. Запишем тангенс аргумента:

.

Вычисляем: ω₁ = 0, tg φ = 0, φ₁ = 0°.

ω₂ = 22,4, tg φ = -¥, φ₂ = -90°.

ω₃ = 11,0 tg φ = 0,00, φ₃ = 0°.

Угол φ не возрастает последовательно для каждой частоты пересечения. И не становится равным степени характеристического уравнения, умноженной на p/2.

Как выглядит годограф Михайлова, показано на рис. 5.7.

Таблица данных

V

ω	U	V
	9,5	4,4
	7,6
	5,5	-14
22,4		-76

0 5 10 U

-40

-60

Рис. 5.7

Кривая не охватывает начала координат. Система неустойчивая.