Конспект лекций 5 страница. Действие этого закона проявляется и в социальной жизни: чем больше социальная значимость человека, измеряемая его общественной пользой

Действие этого закона проявляется и в социальной жизни: чем больше социальная значимость человека, измеряемая его общественной пользой, тем выше та ступенька общественной лестницы, на которой он находится, и тем меньше людей на этой ступеньке. Напомним, что энергия характеризует способность совершать работу, так что высота ступеньки общественной лестницы измеряется общественно значимой работой.

§ 5.7. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

1. Длиной свободного пробега молекулы называется путь, пройденный ей от одного столкновения до другого при хаотическом движении. Для конкретной молекулы эта длина меняется случайным образом, также случайным образом меняется число ее столкновений в единицу времени с другими молекулами. Их средние значения зависят от состояния термодинамической системы и являются выражением закономерности, которая проявляется в хаосе. Обозначим среднюю длину свободного пробега молекулы <l>, среднее число ее столкновений в единицу времени t, тогда пройденный за единицу времени средний путь, равный средней скорости < υ >, выразится так:

< υ >=< l >t (5.7.1)

2. Рассмотрим следующую модель. Пусть молекулы являются твердыми шариками диаметром d_э [15]. При столкновении молекул друг с другом расстояние между их центрами равно d_э. Пусть все молекулы, кроме одной, покоятся. Проследим ее путь за единицу времени. Он складывается из отрезков прямых (рис.24). На рисунке движущаяся молекула – черный шарик, ее траектория показана штриховой линией. При столкновении с другими молекулами (белые шарики) она изменяет направление и скорость движения. Траектория ее движения за единицу времени является осью коленчатого цилиндра длиной < υ >, радиусом d_э и объемом V= < υ > S= < υ >p d_э². Боковые стенки этого цилиндра изображены на рисунке сплошными линиями, площадь его поперечного сечения S заштрихована. Движущаяся молекула (черный шарик) столкнулась со всеми молекулами, центры которых оказались внутри коленчатого цилиндра (белые шарики), и их число N=nV равно числу столкновений молекулы с другими в единицу времени. В действительности движутся все молекулы, так что столкновений будет еще больше. Расчеты, которые мы не приводим, показывают, что их число возрастет в раз. Таким образом, среднее число столкновений молекулы в единицу времени

t = n < υ >p d_э² (5.7.2)

Из формул (5.7.1) и (5.7.2) получаем формулу средней длины свободного пробега молекул:

<l>= (5.7.3)

3. Проанализируем полученные нами формулы. При условиях, близких к обычным атмосферным (р» 10⁵ Па, п»10²⁵ м^-3) получаем <l>»10^-5 м, t»10⁹ с^-1. Учитывая, что давление пропорционально концентрации молекул (р=пкТ), видим, что средняя длина свободного пробега молекул растет с понижением давления. При р= 1 Па» 0,01 мм рт.ст. <l>»1 м, это значит, что в сосуде с линейными размерами порядка 1 м молекулы газа свободно летают от стенки к стенке, практически не сталкиваясь друг с другом. Такой газ называется ультраразреженным, его состояние соответствует техническому вакууму. Заметим, что в мельчайших порах материала газ находится в состоянии технического вакуума даже при атмосферном давлении.

§ 5.8. Выводы из главы 5.

В газе, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, молекулы движутся хаотически, состояния отдельных молекул изменяются случайным образом. Однако эти случайности подчиняются определенным статистическим закономерностям, которые проявляются в характеристиках состояния всей системы. Давление и температура газа, наиболее вероятная скорость теплового движения молекул, их средняя длина свободного пробега есть интегральные характеристики всей термодинамической системы, а не отдельной частицы.

§ 6.1. Тепловые процессы

1. Состояние термодинамической системы (тела) изменяется при изменении внешних условий. Если после изменения внешних условий тело снова окажется термодинамически изолированным, то в нем установится новое состояние теплового равновесия. Каждому такому состоянию соответствуют свои макроскопические параметры состояния, задаваемые соответствующими особенностями теплового движения. Для идеального газа эти параметры p,V,T связаны уравнением состояния Менделеева – Клапейрона. Всякое изменение параметров состояния тела (или некоторых из них) называется термодинамическим или тепловым процессом. Законы тепловых процессов изучает термодинамика.

2. Различают равновесные и неравновесные тепловые процессы. Равновесный процесс предполагает, что при незначительном изменении внешних условий в теле успевает установиться равновесное состояние прежде, чем опять произойдет изменение внешних условий. Равновесный процесс состоит из последовательности равновесных состояний тела, т.е. в каждый момент времени состояние тела можно с требуемой точностью считать равновесным. На термодинамических диаграммах[16] равновесное состояние газа изображается точкой, а равновесный процесс - линией. Точки этой линии соответствуют промежуточным состояниям тела. Важнейшим свойством равновесных процессов является их обратимость. Обратимым называется процесс, который можно провести в обратном направлении через те же промежуточные состояния, при этом после возвращения в исходное состояние ни в теле, ни в окружающих его телах никаких изменений не останется.

Если внешние условия изменяются так быстро, что тепловое движение в системе не успевает привести ее в равновесные промежуточные состояния, то процесс называется неравновесным. Такой процесс является необратимым и его нельзя изобразить графически.

Опыт показывает, что многие практически важные процессы, используемые технической термодинамикой в тепловых и холодильных машинах, можно с достаточной точностью считать равновесными. Далее мы рассмотрим законы равновесной термодинамики.

§ 6.2. Первое начало термодинамики.

1. Внутренняя энергия U термодинамической системы (тела) складывается из кинетической энергии теплового движения его частиц, потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом и собственной внутренней энергии частиц, имеющих определенное внутреннее строение. В модели идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежимо мала. Молекулы рассматриваются как м.т. или как их жесткие системы, так что собственная внутренняя энергия молекул не изменяется, и ее можно считать равной нулю. Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий хаотического движения его молекул. Учитывая, что средняя энергия теплового движения молекулы пропорциональна температуре (формула 5.4.3), вычислим внутреннюю энергию идеального газа, состоящего из N частиц: U=N < E >=. Итак, внутренняя энергия идеального газа выражается формулой:

U= (6.2.1)

Отметим, это внутренняя энергия идеального газа определяется только температурой. В каждом состоянии она имеет определенное значение, не зависящее от того, каким путем и из какого предыдущего состояния газ перешел в данное состояние. Такие характеристики состояния в физике называют функциями состояния. Отметим, что функциями состояния являются кинетическая и потенциальная энергии, рассмотренные в механике. Для функции состояния характерно, что ее изменение не зависит от процесса перехода из начального состояния 1 в конечное состояние 2 и равно разности ее значений в конечном и начальном состояниях:

D U=U₂ –U₁ (6.2.2)

2. При изменении состояния газа изменяются его параметры состояния: p,V,T (или некоторые из них). Объем газа задается положением внешних тел (объемом сосуда). На рис. 25 изображен сосуд с газом, закрытый подвижным поршнем площадью S. На поршень действует сила давления F=pS, под действием которой поршень перемещается из положения 1 в положение 2 на малое расстояние dl. При этом объем газа увеличивается на dV=Sdl (на рисунке он заштрихован), а сила давления совершает элементарную работу dA=FdS=pdV. Работа газа при изменении его объема от V₁ до V₂ равна:

(6.2.3)

При увеличении объема работа газа положительная, при уменьшении – отрицательная. Напомним, что графически работа выражается площадью под графиком процесса на pV – диаграмме.

Для совершения работы всегда требуется источник энергии, в частности, для совершения работы газ может использовать свою внутреннюю энергию: dA= - dU.

3. Пусть газ нагревается без изменения объема, т.е. механическая работа не происходит. В этом случае внутренняя энергия газа увеличивается за счет сообщения ему от внешних более нагретых тел количества тепла Q. Напомним, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул пропорциональна температуре. Более «горячие» молекулы внешних тел, сталкиваясь снаружи со стенками сосуда, передают через стенки более «холодным» молекулам газа дополнительную кинетическую энергию, в результате увеличивается внутренняя энергия и температура газа в сосуде. С микроскопической точки зрения процесс передачи тепла представляет собой работу по ускорению «медленных» молекул при их столкновении с «быстрыми». Этот процесс является статистическим, усредненным по всей совокупности частиц системы. Количество тепла dQ, переданное газу при элементарном процессе, алгебраическая величина: dQ >0, если оно передано извне газу, dQ <0, если оно забрано у газа. Таким образом, dU= dQ.

4. В общем случае изменение внутренней энергии газа может происходить одновременно путем совершения работы и передачи ему тепла: dU=dQ-dA. Закон сохранения энергии, учитывающий особую форму ее передачи в виде тепла, называется первым началом (законом) термодинамики. Его формулу для бесконечно малого изменения состояния тела называют первым началом термодинамики в дифференциальной форме и записывают так:

dQ=dU+dA (6.2.4)

Первый закон термодинамики в интегральной форме имеет вид: количество тепла, переданное телу, идет на изменение его внутренней энергии и на совершение механической работы против внешних сил. Его формула:

Q=DU+A (6.2.5)

Количество тепла, энергия, работа измеряются в одних и тех же единицах (в СИ это джоуль) и могут превращаться друг в друга. С точки зрения физической сути между ними существует принципиальное различие. Энергия является функцией состояния системы, тело обладает запасом энергии. Количество тепла и работа не есть функции состояния, они есть характеристики процесса. О количестве тепла и о работе можно говорить только при изменении состояния тела, применительно к ним понятие «запаса» лишено физического смысла. Количество тепла и работа есть формы изменения энергии тела. При переходе тела из одного состояния в другое его энергия изменяется одинаково при любых процессах, связывающих эти состояния, тогда как работа и количество тепла в разных процессах могут быть разными. Это отличие физического смысла отражается в формулах первого начала термодинамики: в его интегральной форме DU означает изменение (приращение) внутренней энергии, в дифференциальной форме dU -дифференциал (приращение), dQ и dA- бесконечно малые величины, а не их приращения (дифференциалы). Чтобы подчеркнуть это смысловое различие с точки зрения математики, иногда пишут dQ, dA, но dU.

Первое начало термодинамики есть закон сохранения энергии, он является фундаментальным законом природы. Его областью применения являются все тепловые процессы, происходящие в газах, жидкостях, твердых телах. Действие этого закона сопровождает нас постоянно. Например, поставим чайник на плитку. Тепло идет на нагревание воды и окружающих тел, соответственно, на увеличение их внутренней энергии. Если своевременно не снять чайник, то при кипении пар поднимает крышку, и теперь тепло идет и на совершение механической работы.

§ 6.3 Изопроцессы.

При изопроцессах во всех промежуточных состояниях термодинамической системы какой-либо ее параметр имеет неизменное значение. Рассмотрим такие процессы с точки зрения первого начала термодинамики.

1. При изохорном процессе не изменяется объем газа: V=const, а давление и температура изменяются пропорционально друг другу. При неизменном объеме газ не совершает механическую работу, и переданное ему извне тепло целиком превращается во внутреннюю энергию[17]:

Q_V=DU=nRDT (6.3.1)

Способность тела нагреваться при сообщении ему тепла характеризует теплоемкость. Различают удельную и молярную теплоемкости. Будем их обозначать соответственно строчной (маленькой) и прописной (заглавной) буквами: с и С. Напомним: Q=mcDT=nCDT. Из этих формул следует, что C=Mc. При разных процессах подвода тепла газ нагревается по-разному. Теплоемкость газа при конкретном процессе обозначают соответствующим индексом. Для молярной теплоемкости идеального газа при постоянном объемеполучаем, используя формулу 6.3.1:

C_V =R (6.3.2)

Анализируя формулу 6.3.2, видим, что молярная теплоемкость зависит от числа степеней свободы молекулы и одинакова для любых газов, молекулы которых содержат одинаковое число атомов. Экспериментальные исследования показали, что для газов, в частности, для молекулярного водорода (Н₂) при температурах не слишком низких или не слишком высоких по сравнению с обычными (10² К< T< 10³ K) эта формула дает хорошее согласие с опытом. При низких температурах теплоемкость двухатомного газа такова, как если бы его молекула имела не пять, а только три степени свободы, соответствующие ее поступательному движению. При высоких температурах у двухатомной молекулы появляются еще две степени свободы, т.е. кроме поступательного и вращательного у молекулы появляются дополнительные виды движения. Объяснение этому дает квантовая механика. Мы уже упоминали, что классическая модель идеального газа, как и всякая физическая модель, имеет определенную область применения, и реальный газ можно считать идеальным только при условиях, мало отличающихся от обычно встречающихся в природе.

Отметим еще раз, что внутренняя энергия является функцией состояния тела, и ее изменение одинаково для любых процессов, связывающих начальное и конечное состояния системы. В частности, как видно из рассмотренного, для идеального газа при любом процессе

DU=nC_VDT (6.3.3)

2. Изобарный процесс: р=const. Работа газа (см. формулы 6.2.3 и 5.3.2)

А=рDV=nRDT (6.3.4)

Изменение температуры газа при сообщении ему тепла Q_p зависит от теплоемкости газа при постоянном давлении С_р:

Q_p=n С_р DT (6.3.5)

Из формул 6.2.4, 6.3.3, 6.3.4 и 6.3.5 получаем:

С_р= C_V+R (6.3.6)

Этот результат имеет ясный физический смысл. При нагревании газа при постоянном объеме все тепло идет на увеличение внутренней энергии. При нагревании при постоянном давлении помимо этого тепло идет на совершение работы по расширению газа. В результате молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше его молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину газовой постоянной. Из формул 6.3.6 и 6.3.2 следует:

С_р= (6.3.7)

Отметим, что, зная число степеней свободы молекулы i и одну из величин Q, DU, A, остальные две нетрудно найти.Получите эти формулы самостоятельно.

3. Изотермический процесс: Т=const. В этом процессе внутренняя энергия не изменяется, и все переданное газу тепло идет на совершение работы: Q=A. Уравнение изотермического процесса pV = const, на pV - диаграмме его график - гипербола (рис. 26). Выведем формулу работы при изотермическом процессе, используя формулу (6.2.3) и уравнение Менделеева – Клапейрона:

A= (6.3.8)

При изотермическом процессе DT =0 при сообщении телу любого количества тепла. Из определения теплоемкости следует, что C _T = ¥, поэтому иногда про изотермический процесс говорят как про процесс, происходящий с телом с бесконечной теплоемкостью.

4. Адиабатный процесс происходит в теплоизолированной системе, когда ни в нее, ни из нее не проникает тепло: Q= 0. Этот процесс называется еще изоэнтропийным [18]: S = const. Из первого начала термодинамики следует: DU+A= 0, и A= -DU. Работа газа при расширении положительная, при адиабатическом процессе она происходит за счет уменьшения его внутренней энергии. Это значит, что при адиабатном расширении газ охлаждается, а при адиабатном сжатии нагревается. Такие примеры хорошо известны из повседневной практики. Быстро протекающие процессы, когда не успевает происходить теплообмен с окружающей средой, приближаются к адиабатным. Вероятно, Вы замечали, что при накачивании насосом камеры велосипедной или автомобильной шины насос нагревается тем больше, чем быстрее Вы работаете. При накачивании воздух сжимается и нагревается, если не успевает происходить теплообмен. Процесс распространения звука в воздухе связан с быстрым расширением и сжатием малых объемов воздуха с частотой звуковых колебаний (несколько тысяч раз в секунду), и он приблизительно адиабатный.

Выведем уравнение адиабаты, связывающее параметры состояния газа при адиабатном процессе. Для него dA=-dU, т.е. pdV=-nC_VdT. Продифференцировав уравнение состояния, получаем:

pdV+Vdp=nRdT. Из двух последних уравнений следует: pdV+Vdp=- и далее:

(1+) pdV+Vdp= 0. Учитывая, что , и обозначая

g == (6.3.9)

перепишем предыдущее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными так: , проинтегрируем его: glnp+lnV=ln const и после потенцирования получим уравнение адиабатного процесса:

pV^g= const (6.3.10)

Это уравнение называют уравнением Пуассона. Пользуясь уравнением Клапейрона – Менделеева, уравнение адиабаты можно записать еще так[19]: TV^g-1= const или так: p ^{1 - g}T^g= const.

g - безразмерная величина, называется показателем адиабаты. Его значение больше единицы и зависит от числа степеней свободы молекулы (см. формулу 6.3.9). Сравнивая уравнение Пуассона с уравнением изотермы (pV= const) видим, что на pV - диаграмме график адиабаты похож на график изотермы, но более крутой (рис.27). Из рисунка видно, что при одинаковом расширении газа работа в изотермическом процессе больше, чем при адиабатном. При сжатии результат обратный (сравните площади под соответствующими графиками).

§ 6.4. Тепловая и холодильная машины

1. Тепловая машина (двигатель) совершает механическую работу, превращая в нее тепло. Рабочим телом служит газ, заключенный в цилиндре двигателя. При сообщении газу тепла он расширяется, толкает поршень, и движение поршня приводит в движение, например, колеса автомобиля. Процесс совершения газом работы при переходе его из состояния 1 в состояние 2 представлен на рис. 28 графиком 1а2. Работа газа А_1а2 равна площади под графиком процесса на диаграмме. Для восстановления работоспособности двигателя поршень надо вернуть в исходное состояние, т.е. сжать газ. Если сжимать его процессом 2а1, то работа сжатия равна работе расширения, и после возвращения газа в состояние 1 суммарная работа обратится в ноль. Понятно, что сжимать газ надо другим путем, график которого идет ниже графика расширения. Тогда суммарная работа (она изображена на графике заштрихованной площадью) окажется положительной. Процесс, в результате которого тело после ряда изменений своего состояния возвращается в исходное состояние, называется круговым процессом или циклом. Понятно, что в тепловой машине используется цикл.

Отметим еще одно обстоятельство. На стадии расширения температура газа выше, чем на стадии сжатия. Действительно, из рис. 28 видно, что при одном и том же объеме давление газа при расширении больше, чем при сжатии. Согласно уравнению состояния, той же закономерности следуют температуры. Это означает, что газ получает тепло при более высокой температуре, нежели отдает, и источником тепла служит горячее тело, а приемником тепла – холодное тело.

Рассмотрим цикл с точки зрения первого начала термодинамики. На стадии расширения газ получает тепло Q ₁ и совершает положительную работу A _1a2, на стадии сжатия отдает тепло - Q ₂ и совершает отрицательную работу - A _2b1. Запишем для обоих процессов уравнения первого начала термодинамики: Q ₁= U₂-U₁+A_1a2

-Q₂=U₁-U ₂-A _2b1

Сложим эти уравнения: Q₁-Q₂=A_1a2-A_2b1=A. Здесь А – работа в цикле.

Блок - схема тепловой машины изображена на рис. 29. Всякая тепловая машина состоит из трех элементов:

1) горячего тела, его называют нагревателем, передающего рабочему телу за цикл Q ₁ тепла;

2) рабочего тела, состояние которого циклически изменяется, в результате совершается механическая работа А;

3) холодного тела, его называют холодильником, которому рабочее тело отдает за цикл тепло Q₂.

Обратите внимание на принципиальную невозможность создать такую тепловую машину, которая бы превращала все полученное ею тепло в механическую работу и обладала бы 100% коэффициентом полезного действия. КПД тепловой машины h определяется как отношение полезной работы к затраченной энергии:

h= (6.4.1)

2. Холодильная машина забирает тепло у холодного тела и передает его горячему телу вместе с энергией, полученной извне для совершения работы. Рабочее тело при этом совершает цикл в обратном направлении: 1b2a1 (см. рис 28). Примером холодильной машины служит домашний холодильник. В нем рабочее тело забирает тепло из камеры холодильника, поддерживая в ней пониженную температуру, и отдает тепло в окружающую среду, нагревая ее. Для такой работы холодильник потребляет из сети электрическую энергию. Обратите внимание, что задняя стенка работающего холодильника нагревается. Примером холодильной машины является кондиционер, охлаждающий воздух в помещении. Холодильную машину, именуемую тепловым насосом, можно использовать для отапливания помещения. Тепловой насос забирает у наружного холодного воздуха внутреннюю энергию и передает ее в помещение. Разумеется, такой способ обогрева требует больших затрат энергии, поэтому традиционный способ обогрева зданий сжиганием топлива является более эффективным и экономичным.

§ 6.5. Цикл Карно

1. Французский инженер Карно в 1924 г. теоретически рассмотрел идеальный обратимый цикл, обеспечивающий максимальный КПД тепловой машины. Этот цикл и использующая его тепловая машина носят имя Карно. Нагреватель и холодильник имеют бесконечно большие теплоемкости. Это значит, что, сколько бы тепла ни забирали у нагревателя, и сколько бы тепла ни передавали холодильнику, их температуры не меняются. Температуры нагревателя и холодильника соответственно Т ₁ и Т ₂. Рабочим телом в цикле Карно является идеальный газ. На стадии расширения из состояния 1 в состояние 2 газ при температуре Т ₁ изотермически получает от нагревателя тепло (рис.30), и это тепло идет на совершение работы:

Q₁= А ₁₂= nRT ₁ (6.5.1)

Перед сжатием температуру газа надо понизить. Для этого его подвергают адиабатическому расширению из состояния 2 в состояние 3, и он остывает до температуры холодильника Т ₂. Потом газ изотермически сжимают до такого состояния 4, чтобы затем его путем адиабатического сжатия вернуть в исходное состояние 1 и завершить цикл. При сжатии газ совершает отрицательную работу - А ₃₄ = А ₄₃ и передает холодильнику тепло Q ₂:

Q₂= А ₃₄= nRT ₂ (6.5.2)

Уравнение адиабатного процесса (см. § 6.3) дает соотношения: T₁V₂^g-1= T₂V₃^g-1 и T₁V₁^g-1 T₂V₄^g-1, откуда получаем: , соответственно, . Подставляя формулы (6.5.1) и (6.5.2) в формулу (6.4.1) и учитывая полученное соотношение объемов при изотермических процессах в цикле, получаем:

h= (6.5.3)

2. Любой обратимый цикл может быть представлен как сумма элементарных циклов Карно. На рис 31 овальной линией изображен такой цикл. Наибольшая температура в этом цикле Т ₁, наименьшая Т _2. Через эти состояния проведены штриховыми линиями две изотермы цикла Карно, внутри которого помещается рассматриваемый цикл. Он разделен адиабатами на шесть частей. Эти адиабаты являются границами соответствующих циклов Карно (их площади заштрихованы), суммарная площадь которых приблизительно соответствует площади исходного цикла. Рассмотрим один из этих циклов, обозначенных жирной линией. Температура изотермического расширения в нем меньше Т _1, а температура изотермического сжатия больше, чем Т _2, и его КПД меньше, чем в цикле Карно с Т ₁ и Т ₂. Аналогичный вывод можно сделать относительно других элементарных циклов Карно. Следовательно, в любом обратимом цикле значение КПД меньше, чем рассчитанное по формуле (6.5.3), где Т ₁ и Т ₂ соответственно наибольшая и наименьшая температуры в цикле. Таким образом, цикл Карно обеспечивает наибольший КПД тепловой машины, работающей с заданными тепловыми резервуарами. Еще одним замечательным свойством формулы (6.5.3) является ее независимость от рабочего тела и от конструкции двигателя.

3. Если тепловыми резервуарами машины Карно служат кипящая и замерзающая вода, то h=%= 27%. У реальной паровой машины КПД при тех же условиях значительно ниже теоретического значения. Это связано с необратимостью реальных тепловых процессов, потерями энергии на преодоление трения и непродуктивное нагревание окружающих тел. Повышение КПД лежит на пути увеличения температуры нагревателя. Заметим, что при горении бензина температура горячего резервуара может превышать 2000 К. Однако в любой реальной тепловой машине значительная часть энергии, полученной при сжигании топлива, возвращается холодильнику, роль которого нередко играет окружающая среда. Происходящий при этом нагрев называется тепловым загрязнением окружающей среды. В наши дни это явление стало серьезной экологической проблемой, волнующей не только ученых и политиков, но и так называемых «простых людей».