Конспект лекций 7 страница

§ 7.4. Потенциал и работа электростатического поля.

1. Кулоновские силы консервативные, а их поле потенциальное. Напомним, что консервативными называются силы, работа которых одинакова для любых траекторий, соединяющих две точки. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Представим себе, что в электростатическом поле находится «чужой» заряд. На него действует кулоновская сила. Пусть этот заряд переместился по замкнутой траектории и вернулся в исходную точку. Источники электростатического поля неподвижны. После возвращения «чужого» заряда в исходное положение никаких изменений в системе не останется, все заряды окажутся в исходном положении. В соответствии с законом сохранения энергия системы не может измениться, и работа сил должна быть равна нулю. Следовательно, электростатическое поле потенциальное, и «чужой» заряд q в каждой точке поля имеет определенное значение потенциальной энергии W_п [24]. Работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна убыли его потенциальной энергии: А₁₂=W_п1-W_п2. С другой стороны, А₁₂=. Здесь dl – элементарное перемещение заряда q. Сравнивая две эти две формул работы, получаем:

(7.4.1)

2. Левая часть формулы (7.4.1) не зависит от величины заряда q, а определяется только полем, следовательно, и в правой части формулы стоит разность характеристик поля в двух его точках 1 и 2. Эту характеристику называют потенциалом электростатического поля в точке и обозначают j:

(7.4.2)

Потенциал электростатического поля есть его энергетическая характеристика, он численно равен потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного в данную точку. Единицу измерения потенциала в СИ называют вольт (В): 1В=1Дж/1Кл. Потенциальная энергия заряда q, находящегося в точке поля с потенциалом j

W_п=qj (7.4.3)

Работа электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2

А₁₂= q (j ₁ - j ₂) (7.4.4)

3. Формула (7.4.4) позволяет дать еще одно определение потенциала. Пусть точка 2 находится за пределами электростатического поля (т.е. бесконечно далеко от создавших его зарядов). Тогда j ₂=0, и потенциал в точке 1 поля численно равен работе по перемещению положительного единичного заряда из этой точки на бесконечность. Обозначим А_¥ - работу поля при перемещении «чужого» заряда q из точки поля с потенциалом j на бесконечность, тогда

j= А_¥ /q (7.4.5)

§ 7.5. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.

1. Напряженность есть силовая характеристика поля в точке, потенциал – его энергетическая характеристика. Они связаны друг с другом подобно тому, как связаны друг с другом консервативная сила, действующая на частицу, и потенциальная энергия частицы. Работа поля по перемещению заряда q на элементарном пути dl может быть вычислена так: dA=qE_ldl=-qdj, откуда получаем:

E_l = -dj /dl (7.4.6)

Эта формула означает, что проекция на направление dl. равна производной со знаком «минус» от j по l. Если известен потенциал в каждой точке поля как функция координат j = j (х,у,z), то можно найти проекцию вектора напряженности на оси координат, а затем и вектор напряженности:

-grad j (7.4.7)[25]

Из формулы (7.4.6), равно как из формул (7.4.1) и (7.4.2) следует:

(7.4.8)

Если перемещение происходит по замкнутому контуру, т.е. начальная точка 1 и конечная точка 2 пути совпадают, то криволинейный интеграл называют циркуляцией вектора по контуру и обозначают кружком на интеграле. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю:

(7.4.9)

Формула (7.4.9) математически выражает потенциальный характер поля.

2. Воспользуемся формулой (7.4.8) и получим формулу потенциала поля точечного заряда из формулы напряженности (см. формулы 7.2.2 и 7.2.3). Перемещение dl выберемвдоль направления вектора напряженности (dl= dr), тогда E_l=E=q/ (4p e₀r²). Положения точек 1 и 2 задано соответственно r₁ и r₂. . Получили формулу потенциала поля точечного заряда:

j = (7.4.10)

Используя принцип суперпозиции и учитывая, что потенциал – скаляр, получаем, что потенциал поля, созданного несколькими источниками, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым источником независимо от всех прочих:

(7.4.11)

3. Реальная или воображаемая поверхность в электрическом поле, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Из формулы (7.4.8) видно, что эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда – концентрические сферы, в центре которых находится источник поля. Обратите внимание, что силовые линии поля точечного заряда направлены радиально и перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Убедитесь самостоятельно, что этот вывод справедлив для любого электростатического поля[26]. Сечение эквипотенциальных поверхностей плоскостью дает эквипотенциальные линии (эквипотенциали).

Электростатическое поле можно изображать не только линиями напряженности, но и эквипотенциальными поверхностями или эквипотенциальными линиями. На рис. 39 представлены три электростатических поля: точечного заряда, диполя и двух одинаковых положительных заряда. Эквипотенциали - синие линии, силовые линии – красные.

Рис. 39

Эквипотенциали нарисованы с постоянным шагом Dj. Обратите внимание, что они, как и линии напряженности, сгущаются в области сильного поля. Вспомните, как на плоской топографической карте изображают рельеф местности, в частности, горы и возвышенности. На практике, исследуя топографию электростатического поля, легче измерить потенциалы (скаляр - одно число) разных точек поля, чем векторы напряженности (три числа), а затем, нарисовав эквипотенциали, построить линии напряженности (с таким способом Вы встретились в лабораторной работе N 22).

§ 7.6.Электростатическое поле в веществе.

1. Атомы вещества состоят из электронов и положительных ядер, и вещество в обычном состоянии электрически нейтрально. Однако под действием внешнего электрического поля его положительные и отрицательные заряды смещаются в противоположные стороны и создают свое собственное электрическое поле . Поле в веществе =+отличается от поля в вакууме . С точки зрения электрических свойств интересны два резко различающиеся класса веществ: диэлектрики (изоляторы) и проводники.

2. Диэлектрики используют для электрической изоляции проводящих тел друг от друга. В диэлектриках заряды под действием внешнего электрического поля смещаются в пределах атома и называются связанными. Созданное ими собственное поле направлено навстречу внешнему полю, так что напряженность поля в диэлектрике Е уменьшается по сравнению с Е₀. На рис.40 показан однородный неполярный диэлектрик. В неполярном диэлектрике в отсутствии внешнего электрического поля «центры тяжести» положительного и отрицательного зарядов молекулы совпадают, и ее дипольный момент равен нулю.

Внешнее электрическое поле (силовые линии сплошные) смещает эти «центры тяжести» в противоположные стороны. Каждая молекула превращается в электрический диполь. Внутри диэлектрика суммарный заряд всех диполей равен нулю, а на его противоположных поверхностях в тонком слое возникают нескомпенсированные разноименные связанные заряды (см. рис.40). Это явление называется поляризацией диэлектрика. Поляризованный диэлектрик создает собственное электростатическое поле (силовые линии штриховые), направленное навстречу . В диэлектриках другого типа (полярных, кристаллических) механизм поляризации носит другой характер. Однако возникшее в результате поляризации собственное поле все равно направлено навстречу внешнему полю. Густота силовых линий в диэлектрике уменьшается по сравнению с вакуумом. Относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика показывает, во сколько раз уменьшается поле в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме, созданное одними и теми же внешними источниками:

(7.6.1)

Для многих однородных диэлектриков (кроме сегнетоэлектриков) ее значение не зависит от величины внешнего поля, и его можно найти в соответствующих таблицах физических свойств веществ. Заметим, что e₀E₀=e₀eE. Эту величину обозначают D, называют электрическим смещением или электрической индукцией. Это еще одна вспомогательная векторная характеристика электрического поля: в однородном диэлектрике

(7.6.2)

Напряженность – силовая (физическая) характеристика поля. Она определяется как внешними, так и внутренними зарядами по отношению к диэлектрику. Электрическое смешение – вспомогательная (геометрическая) характеристика, связанная только с внешними по отношению к диэлектрику зарядами. Из формул (7.6.1) и (7.6.2) следует, что формулы для электростатического поля в вакууме становятся пригодными для поля в диэлектрике, если в них e₀ поменять на e₀e.

3. В проводниках имеются заряженные частицы, способные под действием сколь угодно малого электрического поля перемещаться в пределах объема тела. Такие заряды называются свободными. Хорошими проводниками являются металлы, например, медь, алюминий, серебро и другие, образованы из элементов первой и второй групп таблицы Менделеева. Их атомы в свободном состоянии имеют соответственно один или два валентных электрона. Взаимодействие атомов в металле приводит к тому, что валентные электроны покидают свой атом, становятся свободными и образуют своеобразный «электронный газ». Положительно заряженные ионы, получившиеся из атомов, образуют кристаллическую решетку, погруженную в электронный газ. В отсутствие внешнего электрического поля тепловое движение свободных электронов равномерно распределяет их по объему проводника. В результате в любой части объема проводника суммарный заряд равен нулю: положительный заряд кристаллической решетки и отрицательный заряд электронного газа компенсируют друг друга.

Поместим металлический проводник во внешнее электрическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на заряды действует электрическое поле, и смещает свободные электроны против поля. Такое движение электронов (ток) приводит к перераспределению зарядов и наступлению равновесия. Этот процесс практически занимает доли секунды. Силы обращаются в ноль, следовательно, внутри проводника Е=0, и силовые линии не проникают внутрь проводника. Следовательно, поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность внутри проводника равен нулю. Из теоремы Гаусса следует, что суммарный заряд внутри проводника также равен нулю, и в статическом случае некомпенсированные заряды распределяются по поверхности проводника. Отсутствие поля внутри проводника означает, что проводник является эквипотенциальным телом: во всех его точках внутри и на поверхности j = const. Силовые линии суммарного поля прерываются на поверхности проводника, и перпендикулярны поверхности. В противном случае составляющая поля, параллельная поверхности, вызвала бы движение зарядов, а это противоречит условию равновесия.

На рис. 41-а[27] изображен проводник, которому сообщили избыточный положительный заряд, и этот заряд распределился в тонком поверхностном слое, создав вне проводника свое электрическое поле. На рис.41 – б в однородное электрическое поле (его силовые линии показаны тонкими пунктирными линиями) внесли незаряженный металлический проводник. Смещение свободных электронов против поля привело к возникновению на одной стороне поверхности нескомпенсированного отрицательного заряда, а на противоположной стороне – равного ему по величине положительного. Эти заряды называются индуцированными, а физическое явление их возникновения называется электростатической индукцией. Суммарное поле, разумеется, отличается от исходного. На рисунке его силовые линии изображены черными сплошными линиями. Если помещенный в поле проводник разделить на две части (левую и правую на нашем рисунке) и разъединить их, то получим два разноименно заряженных тела, даже если их удалить их внешнего поля.

4. Рассмотрим, как распределяются заряды по поверхности проводника в зависимости от ее формы. Пусть имеются два заряженных шарообразных (сферических) проводника разных радиусов, расстояние между которыми достаточно велико, чтобы можно было считать их уединенными заряженными сферами. Напомним, что заряженная сфера создает электрическое поле вне своего объема, причем, такое же, какое создает точечный заряд, равный заряду сферы и помещенный в ее центр, так что потенциал поверхности сферы j =q/ 4p e₀r=s S/ 4p e₀r=s r/e₀. Здесь s - поверхностная плотность заряда, S= 4p r² – площадь сферы. Соединим заряженные сферы тонким проводником, и получим единый проводник. Заряды перераспределятся на его поверхности в соответствии с условиями равновесия. Учитывая, что потенциалы во всех точках проводника внутри и на поверхности одинаковы, получили, что s r= const. Это значит, что поверхностная плотность заряда обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности. Особенно велика концентрация зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи острия может быть такой большой, что возникает ионизация молекул воздуха вблизи него. Ионы противоположного знака, нежели заряд острия, притягиваются к нему и уменьшают заряд острия. Ионы одного знака с зарядом острия отталкиваются от него и увлекают за собой нейтральные молекулы газа. Возникает «электрический ветер», создающий эффект стекания заряда с острия.[28] Свойство зарядов концентрироваться на острие объясняет, почему во время грозы молния чаще всего ударяет в высокие деревья и в высокие постройки. Это свойство используют на практике, в частности, при устройстве громоотводов (точнее, молниеотводов).

5. Еще раз подчеркнем свойства электростатического поля в веществе:

· В электростатическом поле диэлектрик поляризуется и ослабляет поле.

· Электростатическое поле не проникает внутрь проводника. Если надо уберечь от воздействия внешнего электростатического поля какое-либо устройство, достаточно окружить его проводящим экраном (металлической сеткой). На практике такие экраны используют для электростатической защиты.

§ 7.7. Электроемкость. Конденсатор.

1. При сообщении проводнику избыточного электрического заряда он распределяется по поверхности проводника соответствии с ее формой. При наступлении равновесия проводник становится эквипотенциальным телом. Если проводнику сообщить дополнительный заряд, то он распределится подобно предыдущему, и поверхностная плотность заряда в каждой точке пропорционально увеличится. Соответственно увеличится созданное этими зарядами электрическое поле, так что j ~ q, и коэффициент пропорциональности является индивидуальной характеристикой проводника. Эта характеристика называется электрической емкостью (электроемкостью) проводника. Ее обозначают С. По определению

(7.7.1)

Емкость уединенного проводника зависит от его геометрии (формы и размеров) и от диэлектрических свойств окружающей среды. Покажем это на примере уединенного шара (сферы). Для него j=q/ 4p e₀er, и электроемкость сферы

С= 4p e₀er (7.7.2)

В СИ единица измерения емкости называется фарад (Ф): 1Ф=1Кл/1В. Это довольно крупная единица измерения. Например, шар размером с Землю (радиус земли около 6400 км) имеет емкость С =4p^.8,85^.10^-12 6,4^.10⁶@0,7^.10^-3Ф=700 мкФ. На практике обычно используют дольные единицы: мФ, мкФ, пФ.

При приближении к заряженному проводнику другого незаряженного проводника на втором проводнике появятся индуцированные заряды, причем, заряды разноименного с первым проводником знака расположатся ближе к нему, нежели одноименные. Электрическое поле индуцированных зарядов складывается с полем заряженного проводника. Разноименные с зарядом первого проводника индуцированные заряды уменьшают его поле, одноименные увеличивают. Влияние разноименных сильнее – они ближе расположены к первому проводнику. В итоге потенциал первого проводника уменьшается, тогда как его заряд на изменяется, что означает увеличение емкости первого проводника. Таким образом, емкость проводника зависит не только от его геометрии, но и от окружающих его тел.

2. Электрический конденсатор представляет собой устройство для накопления электрического заряда и энергии электрического поля. Он состоит из двух изолированных проводников, заряженных разноименными зарядами одинаковой величины. Проводники называются обкладками конденсатора. Им придают такую форму, чтобы электрическое поле локализовалось в пространстве между обкладками. Его силовые линии выходят из одной обкладки и входят в другую. Наиболее распространены конденсаторы плоские, сферические и цилиндрические. Их обкладками являются соответственно две параллельных плоскости, две концентрические сферы разных радиусов и два соосных цилиндра разных радиусов.

Электроемкость конденсатора

С=q/U (7.7.3)

Здесь q - заряд конденсатора, он численно равен заряду каждой его пластины: q= q ₊=| q _-ç. U – напряжение на конденсаторе, оно равно разности потенциалов его обкладок U = j₊ -j_-.

Рассмотрим плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между пластинами d. Если расстояние между пластинами мало по сравнению с линейными размерами пластин, то поле такого конденсатора можно считать однородным (см. §7.3 пример в). Его напряженность E=s / e₀e. Напряжение на конденсаторе U=Еd==sd / e₀e.. Учитывая, что s = q/d, получаем формулу емкости плоского конденсатора:

(7.7.4)

3. При параллельном соединении конденсаторов их одноименно заряженные пластины соединяются между собой (рис. 42 а). Заряд батареи конденсаторов складывается из зарядов отдельных конденсаторов, напряжение на батарее и на каждом конденсаторе одно и то же, и емкости складываются:

С= S С_i (7.7.5)

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 42 б) заряд батареи и каждого конденсатора один и тот же, напряжение батарей равно сумме напряжений на конденсаторах, и складываются обратные величины емкостей:

(7.7.6)

Получите самостоятельно формулы (7.7.5) и (7.7.6).

§ 7.8. Энергия электрического поля.

1. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора. Он связан с перемещением свободных электронов с одной обкладки на другую. Обкладка, с которой забирают свободные электроны, приобретает избыточный положительный заряд. Другая обкладка, куда добавляются свободные электроны, заряжается отрицательно. Уже первая порция заряда создает в конденсаторе электрическое поле, и перенос каждой новой порции заряда происходит против действующих на них сил. Работа этих сил отрицательная: dA=-Udq, и она идет на приращение потенциальной энергии зарядов в электростатическом поле: dW=Udq. Пользуясь формулой dq=CdU, получаем dW=UCdU. Интегрируя это выражение, находим: . Учитывая, что q=CU, получаем формулы энергии заряженного конденсатора:

W= (7.8.1)

Подобным образом, рассматривая процесс зарядки уединенного проводника, получим для его энергии формулы:

W= (7.8.2)

Заряд проводника складывается из суммы точечных зарядов на его поверхности: q= S q_i. Все эти заряды находятся в точках поля с одинаковыми потенциалами j _i =j. Получаем, что энергия системы точечных зарядов равна:

W= S q_ij_I (7.8.3)

Здесь q_i. - точечный заряд с номером i, j_i – потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами системы в точке, где находится заряд q_i.

2. Заряды создают в пространстве электрическое поле. Можно считать, что энергия сосредоточена в объеме поля с объемной плотностью w=W/V, где V- объем электрического поля. Выразим объемную плотность энергии электрического поля w_Е через его силовую характеристику – напряженность Е. Для этого рассмотрим однородное поле, в нем энергия равномерно распределена по объему. Таким является поле плоского конденсатора. Учитывая, что в плоском конденсаторе E=s /e₀e, s=q/S, U=Ed, С=e₀eS/d, V=Sd,получаем:

w_E= (7.8.4)

Формула (7.8.4) применима не только к однородному, но и к любому электростатическому полю. Если поле Е=Е (x,y,z) известно в каждой точке, то интегрированием можно найти энергию в любой части его объема: W=.

§ 8.1. Электрический ток: сила тока, плотность тока

1. Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов, сопровождающееся переносом заряда через некоторую поверхность S, например, через поперечное сечение проводника. Мы уже видели, что движущиеся под действием электрического поля заряды являются посредниками, превращающими его энергию в механическую работу. Электрический ток может производить такое действие в макроскопических масштабах, а также приводить к выделению тепла, возникновению магнитного поля, некоторых химических, оптических и других явлений. Энергия движущихся зарядов передается по проводам на большие расстояния, а также легко преобразуется в другие виды энергии. Электрический ток широко используется в технике, он является важнейшим энергетическим фактором экономики государства.

Для поддержания электрического тока нужны свободные заряды и электрическое поле. Длительное время токи в проводниках могут существовать только при определенных условиях. Заряды, участвующие в создании тока, называют носителями тока. В металлах такими носителями являются свободные электроны, в электролитах - положительные и отрицательные ионы. Носителями тока могут быть макроскопические частицы – пылинки и капельки, несущие на себе избыточный электрический заряд (капельки дождя во время грозы). Носители очень малы, и непосредственно наблюдать их движение практически невозможно.

Ток проявляет себя следующими действиями: магнитным, тепловым, химическим. Ток создает вокруг себя магнитное поле, это его универсальное свойство, проявляющееся при движении любых заряженных частиц. Тепловое действие тока используется в электронагревательных приборах. Химическое действие тока наблюдается в электролитах и применяется, например, в гальванической технике для нанесения тончайших металлических слоев на поверхность изделия.

Носители участвуют в тепловом движении. Средняя скорость их хаотического движения определяется той же формулой, что для молекул газа в тепловом равновесии. Тепловое движение не создает электрического тока, из-за его хаотичности потоки носителей сквозь любую мысленно выделенную поверхность в проводнике за любой промежуток времени одинаковы в обоих направлениях, так что переносимый ими суммарный заряд равен нулю.

При появлении электрического поля на носители тока начинает действовать сила, и к их хаотическому движению добавляется направленное движение. При столкновениях носители теряют направленную скорость, и вновь начнут ее приобретать на следующем отрезке свободного пробега. В результате положительные носители тока перемещаются в направлении поля, а отрицательные – против поля. Это движение называется дрейфом, а его средняя скорость называется скоростью дрейфа. Подобную картину можно наблюдать в рое мошек или комаров при ветре. Именно дрейф создает направленный перенос электрического заряда, т.е. электрический ток.

2. Количественной характеристикой тока является сила тока – i. Пусть через поверхность площадью S за промежуток времени dt ток переносит заряд dq, тогда сила тока через эту поверхность

(8.1.1)

Единицей силы тока в СИ является ампер (А):1А = 1Кл / 1с. Сила тока – алгебраическая величина. За направление тока принято направление упорядоченного движения положительных зарядов, отрицательные носители движутся против тока.

Постоянным называется ток, сила и направление которого не изменяются со временем. Силу постоянного тока обозначают I.

I=q/t (8.1.2)

Здесь q – заряд, переносимый током за время t через рассматриваемую поверхность.

Еще одна характеристика – вектор плотности тока , направленный вдоль вектора скорости упорядоченного движения положительных носителей и численно равный силе тока через поверхность единичной площади:

(8.1.3)

Здесь di – сила тока через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению дрейфа носителей, площадью dS _^.

В проводнике с током выделим часть его в виде прямоугольного параллелепипеда объемом V= S _^ l (рис.43). Положительные носители движутся со скоростью дрейфа перпендикулярно к боковой поверхности S _^. Обозначим заряд носителя тока q ₀, концентрацию носителей n, тогда суммарный заряд носителей в выделенном объеме составит q= q ₀ nV= q ₀ n S _^ l. За время t=l/u этот заряд будет перенесен через S _^, так что сила тока составит I=q/t= q ₀ nu S _^. Соответственно плотность тока j=q₀nu. Вектор плотности тока показан на рис. 43. Ток в металлических проводниках создают свободные электроны. Обозначая их заряд е, получаем: