Показательная форма комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме

Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме

1.Умножение

Z₁Z₂= r₁ (cos q₁+ sin q₁)* r₂ (cos q₂+ sin q₂)= r₁r₂ (cos (q₁+q₂)+ i sin (q₁+q₂))

При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление

Z₁ / Z₂= r₁ (cos q₁+ sin q₁) / r₂ (cos q₂+ sin q₂)= r₁ / r₂ (cos (q₁-q₂)+ i sin (q₁-q₂))

При делении модули делятся, а аргументы вычитать

3. Возведение в степень. Формула Муавра.

Z ⁿ = [r (cos q+ sin q)] ⁿ = r ⁿ ((cos q+ i sin q))

Модуль возводится в n-ую степень, а аргумент остается тем же

4. Извлечение корня

ⁿ √Z=

Где k= 0,1,2,….n-1

Таких корней существует ровно n.

это выражение вида Z= re ^iq,

где r= |Z| = √ (x ² + y ² ) - модуль комплексного числа

q= arg Z- аргумент комплексного числа, cos q= x √(x ² + y ²), sin q= y / √(x ² + y ²)

Формула Эйлера:

e ^iq = cos q+ sin q