Вычисление тройных интегралов

Тройной интеграл. Св-ва. Сведение к повторному интегралу. Замена переем-х. Цилиндр-е и сфер-е коорд-ты. Приложения тройного интеграла.

Приложения двойных интегралов.

1) Масса плоской пластинки.

Поверхностная плотность .

Элемент массы равен .

Масса всей пластинки равна .

2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки.

, .

, .

, .

3) Моменты инерции пластинки.

, .

Центробежный момент инерции

.

Полярный момент инерции относ-но оси

.

Рассмотрим тело объемом переменной плотности

Разобьем тело произвольным образом на частей элементарными объемами Выберем в каждом из элемент-х объемов произв-ю точку Масса элем-го объема приближенно равна

Просуммируем массу всех элементарных объемов

Выраж-е в правой части наз-ся интегр-й суммой. Устремим наиб-й диаметр элем-х объемов к 0 и рассмотрим предел

Если этот предел интегр-й суммы сущ-ет, то, очевидно, он равен массе тела и наз-ся тройным интегралом от ф-и по объему

Вообще, тройным интегралом от ф-и по объему наз-ся предел интегральной суммы

Св-ва двойных интегралов переносятся на тройные интегралы:

1)

2)

3) , . Тогда

4) Если "(x,y,z)ÎV , то

5) Если , , то , где

6) - среднее знач-е f в области V.

1) Декартовы коорд-ты. Пусть дан тройной интеграл

Разобьем область интегрирования на элементарные объемы плоскостями, парал-ми корд-ым плоскостям. Тогда элементарный объем равен Следов-но

Установим правило вычисления тройного интеграла

Пример. Вычислить тройной интеграл по обл-ти, огранич-й плоск-ми: и Построим область интегрирования: