Теорема существования

Если ф-ция или непрерывна, а кривая на отрезке непрерывна и имеет непрерывно вращающуюся касс-ную, то кривол-й интеграл 1-го рода типа (А) или (Б) сущ-ет. Т. е. пределы сущ-ют и не зависят от выбора точек

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Оно сводится к вычислению опред-го интеграла:

1) Если ур-ия пути интегрирования заданы в парам-й форме (для пространственной кривой ), то

(А)

(Б)

Здесь знач-е пар-ра берется для точки , знач-е пар-ра берется для точки . Точки и выбираются так, чтобы выполнялось нер-во

2) Если ур-я пути интегр-я заданы в явном виде для плоской кривой (для простр-й кривой ), то

(А)

(Б)

Здесь знач-е берется для точки , знач-е берется для точки . Точки и выбир-ся так, чтобы выполнялось нер-во

Замечание. Пусть кривая такова, что для заданного координата принимает несколько значений, например:

Тогда кривую нужно разбить промеж-ми точками на отрезки таким образом, чтобы для каждого отрезка выполнялось взаимно однозначное соотв-вие между и , и интегрировать в сторону увеличения корд-ты Для данного примера криволинейный интеграл 1-го рода примет вид