Теорема Коши о сущ-нии и единств-ти реш-я

Физ-е задачи, приводящие к ДУ. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теор-а сущ-ния и единственности реш-я задачи Коши. Основные классы ур-й, интегрируемые в квадратурах.

Связь м-у кривол-ми интегралами 1 и 2 рода.

Простейшие ДУ: или Реш-е

Более сложные ДУ: и т.д. или и т.д.

Определение. ДУ 1-го порядка наз-ся ур-ие, связывающее незав-ую переем-ю ф-ю и ее произв-ю

Будем рассматривать ур-я ф-ции одной перем-й.

Общий вид диф-го ур-я 1-го порядка или

Определение. Реш-м ДУ наз-ся ф-я, кот-я при подстановке ее вместе с производной в это ур-ие, превращает его в тождество.

Примеры: 1) Реш-е где - произвольная постоянная.

2) Реш-е

ДУ 1-го порядка имеет бесчисленное мн-тво реш-й, которые обычно опред-ся формулой содержащей одну произв-ю постоянную. Такое множ-во решений наз-т общим реш-м ДУ. Придавая определенные (допустимые) знач-я, получим частное реш-е.

При реш-и конкретных задач нас будет интересовать частное реш-е, определяемое нач-ми усл-ми. Обычно нач-ые усл-я задаются парой знач-й или

Задача отыскания частного реш-я по нач-му усл-ю наз-ся задачей Коши.

Пусть дано ДУ и нач-е усл-е Если ф-я и ее частная производная непрерывны в открытой области, содержащей точку то в достаточно малом интервале это ур-е имеет единств-е реш-е удовлетворяющее заданному нач-му усл-ю

Без доказательства.

График частного реш-я ДУ наз-ся интегр-й кривой. Общее реш-е – семейство интегр-х кривых.

Чтобы отыскать частное реш-е, нужно в общее реш-е подставить и разрешить ур-е относ-но

Примеры: 1) ДУ Общее реш-е

Нач-ое усл-е Подставим нач-е усл-е в общее реш-е ДУ я. Получим алгебраическое ур-ие для опред-я произв-ой постоянной Следов-но Частным реш-ем ДУ, удовлетворяющим нач-м усл-м будет

2) ДУ Общее решение

Нач-ое усл-е Подставим нач-е усл-е в общее реш-е ДУ. Получим Частным реш-м ДУ, удовлетворяющим нач-м усл-м будет

Общее реш-е ДУ не обязательно должно быть получено в явном виде. также является реш-м ДУ.

ДУ с разделяющимися переем-ми.

Рассмотрим ДУ Проинтегрировав, получим Если то

Пример:

Определение. ДУ, в кот- переем-е можно разделить посредством умнож-я или дел-я обеих частей ур-я на одно и то же выражение, наз-ся ДУ с раздел-ся переем-ми.