2014-02-02
413
ДУ высших порядков. Задача Коши. Ур-я, допускающие понижение порядка.
Определение. Ур-я вида 
наз-ся ДУ 2-го порядка.
ДУ, разрешенное относительно 2-й производной 
имеет вид 
Пример. 
Последовательно интегрируя, получим 
Лемма. ДУ 2-го порядка 
обычно имеет бесчисленное множество реш-й, определяемых формулой 
содержащей две произвольные постоянные. Это множество реш-й наз-ся общим решением.
Частные решения ДУ определяются из нач-х усл-й 
Пример. 
Геометр-й смысл нач-х усл-й: Помимо точки 
задаем угловой коэф-т касс-й.
Если ф-я 
и ее производные 
непрерывны в окрестности знач-й 
то ДУ 
в достаточно малом интервале 
имеет единств-е реш-е 
удовлетворяющее заданным нач-м усл-м 
Без доказательства.
Из теоремы следует, что ур-е 
при заданных нач-х усл-х 
имеет единственное реш-е. Если задать нач-е усл-я при 
то теорема о сущ-нии дать ответ не может, т.к. при 
правая часть имеет особенность.
Для ДУ 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия) 
(сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В этом случае может быть одно реш-е, может реш-е не сущ-ть и может быть бесконечное мн-во реш-й. Это коренное отличие задания граничных условий от задания нач-х усл-й.
Пример. 
