Лекция 2. 1. Понятие вектора. Прямое произведение множеств

ТЕМА: ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ДЕКАРТОВА СТЕПЕНЬ.

ПЛАН:

1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.

2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.

Главная

1. Понятие вектора. Прямое произведение множеств.

1.1. Понятие вектора.

Вектор- это упорядоченный набор элементов или упорядоченное множество.

Элементы – это координаты или компоненты вектора.

Нумерация элементов производится слева направо.

Векторы (а₁, а₂), (а₁, а₂, а₃), (а₁, а₂, а₃,…) называют соответственно двойка, тройка, энка.

Количество элементов в векторе называется длиной вектора.

Равные векторы: два вектора (а₁, а₂, а₃,…, а_n) и (b₁ , b₂,…, b_m) равны тогда и только тогда, когда n = m и а₁ = b₁, а₂ = b₂, …, а_n = b_m.

Пример: {1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1}, но (1, 2) ¹ (2, 1, 1) ¹ (2, 1). Только (1, 2) = (1, 2).

Прямое произведение множеств.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество всех пар (а, в) таких, что аÎ А и вÎ В.

Обозначение: А´ В.

Если А = В, то А ´ В =А² и называется декартовым квадратом.

Приведем формулировку определения прямого произведения n множеств:

Прямое произведение множеств А₁, А₂, …, А_n есть множество всех векторов (а₁, а₂, а₃,…, а_n) длины n таких, что а₁ Î А₁, а₂ Î А₂, …, а_п Î А_п.

Если А₁ = А₂ = … = А_n, то А₁ ´ А₂ ´ … ´ А_n = Аⁿ и называется декартовой степенью.

Примеры:

1. R – множество действительных чисел, тогда R´R = R² – векторы (а, в), где аÎR и вÎR, есть координаты точек плоскости.

Такое координатное представление точек плоскости было предложено Декартом и являлось первым в истории примером прямого произведения множеств.

2. Прямое произведение {1, 2, 3, …, 8}´ {a, b, c, d, …, h}- есть множество клеток шахматной доски.

3. Рассмотрим множество А, элементы которого символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций…), тогда Аⁿ – это слова длиной n (под словом можно понимать текст).

4. Составим прямое произведение множеств Х = {1,2,3}и У= {0,1}: Х´У и У´Х. Х´У={(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}. У´Х= {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)}. Геометрическая интерпретация произведения двух конечных множеств- точки плоскости. Как видно из построенных произведений прямое произведение множеств не обладает свойством коммутативности.

5. Построим прямое произведение двух несчетных множеств – числовых отрезков, например, [0,1]´[1,2]. Результатом данного произведения являются все точки квадрата с вершинами (0,1), (0,2), (1,1) и (1,):

6. Построим прямое произведение трех числовых отрезков, например: [0,1] ´ [1,2] ´ [1,2]. Произведением первых двух отрезков является квадрат с вершинами (0,1), (0,2), (1,1), (1,2). Произведением полученного множества точек квадрата на числовой отрезок [1,3] является множество точек прямоугольного параллелепипеда (в данном случае куба), вершины которого точки: (0,1,1), (0,1,2), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2).

2. Теорема о количестве элементов прямого произведения.

Пусть А₁, А₂, …, А_п – конечные множества и их мощности соответственно равны | А₁| = m₁, |А₂| = m₂, …,| А_п|= m_n. Тогда мощность множества |А₁ ´ А₂ ´ … ´ А_n| = | А₁| ´ |А₂| ´…´| А_п|.

Следствие: |Aⁿ| = |A|ⁿ.

Примеры:

1. Для примера (2) из предыдущего пункта: мощность множества {1, 2, 3, …, 8}´ {a, b, c, d, …, h} равна 8´ 8 =64; действительно, количество полей на шахматной доске равно 64.

2. Для примера (4): мощность множества Х´У или У´Х равна 3´2 =6, в чем убеждаемся, пересчитав пары.

3. Найдем количество всевозможных двузначных чисел, которые можно составить из цифр от 1 до 9.

Искомое количество, есть количество пар прямого произведения множества А = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} на себя. Пользуясь теоремой, находим: 9´9 = 81.

4. Найдем количество всевозможных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр множества В= {5,2,7}. Искомое количество, есть количество троек декартового куба В³ и равно 3³ = 27.

5. Определить длину и количество векторов прямого произведения A´B´C множеств A ={1,4,7}, B = {0,2}, C = {5}. Элементы прямого произведения трех множеств являются тройки, т.е. длина каждого вектора равна трем. Количество векторов найдем, используя теорему: 3´2´1 = 6. Убедимся в верности выводов, найдя векторы прямого произведения: A´B´C = {(1,0,5), (1,2,5), (4,0,5), (4,2,5), (7,0,5), (7,2,5)}.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить длину каждого вектора: а(1,2,3,4), b(1,2,2,4,4), с(0), d(5,8), е(1,2,4).

2. Указать равные векторы: а(2,2,3,4), b(2/1;3;4), с(2,0; 2/1; 3; 4), d(2,3,4,2), f(2,3,4).

3. Определите количество векторов и их длину прямого произведения множеств А´В´С, если А={a₁, a₂,…,a₆}, B={b₁, b₂, b₃}, C={c₁, c₂}.

4. Найти А´В и В´А, если А={2,5,8}, B={6,7,7,5,8}. Показать на координатной плоскости.

5. Найти произведения числовых отрезков [3, 5] на [0, 2]; [3, 5] на [0, 2] и на [1, 3].

6. Найти декартову степень А³, где А={2,4,3}.

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение вектора.

2. Что называется длиной вектора?

3. Какие векторы называются равными?

4. Что называется прямым произведением двух, n – множеств?

5. Что называется декартовой степенью множества?

6. Что является декартовым квадратом и кубом множества действительных чисел R?

7. Геометрическая интерпретация двух и трех числовых отрезков?