Силовые соотношения в прямозубых эвольвентных зубчатых передачах

Поломка зубьев при статических и динамических перегрузках.

Виды повреждений зубьев.

ЛЕКЦИЯ № 19

Расчёт зубчатых колёс на прочность

Практика эксплуатации зубчатых передач показывает, что основными причинами повреждений зубьев являются неправильный расчёт, низкое качество изготовления и сборки, нарушения правил эксплуатации.

Зуб отламывается у основания. При многократно меняющей знак нагрузке зуб ломается вследствие появления трещин. Виды повреждений зависят от вида передач (открытые и закрытые передачи). Закрытые передачи работают в герметически закрытом и наполненном маслом корпусе. Открытые передачи либо совсем незакрыты, либо имеют кожух, защищающий от пыли и влаги.

2. Выкрашивание поверхности зубьев.

Чаще всего проявляется в закрытых передачах. При знакопеременных нагрузках появляются трещины. При контакте зубьев масло, попадая в трещины, работает как клин. Это явление называется питтингом.

3. Абразивный износ получается в передачах, работающих в загрязнённой атмосфере. В результате износа возникают большие зазоры, приводящие к появлению ударов.

4. Заедание зубьев.

Наблюдается при увеличении шага и скорости. В этом случае зубья нагреваются и получается «местное приваривание» с дальнейшим отрывом. В таких передачах проводят расчёт на нагрев.

5. Повреждение торцёв колёс.

Наблюдается в коробках скоростей при включении и выключении колёс на ходу. В этом случае рекомендуется использовать синхронизаторы вращения.

6. Пластическая текучесть материала.

Наблюдается в нагруженных передачах при небольших скоростях. Вблизи полюса зацепления на зубьях возникают складки.

С учётом особенностей открытых и закрытых передач расчёты производятся в следующей последовательности: для открытых передач расчёт зубьев на изгиб и проверочный расчёт на контактную прочность, а для закрытых – расчёт зубьев на контактную прочность и проверочный расчёт зубьев на изгиб.

q _n - нормальная распределённая нагрузка [Н];

F _n - нормальная сила [Н];

F _пр - нормальная расчётная сила, учитывающая дополнительные нагрузки [Н];

k - коэффициент нагрузки ();

k _к - коэффициент концентрации нагрузки (неточность изготовления колёс, наличие упругих деформаций, толчков и ударов в процессе зацепления);

k _d- коэффициент динамичности нагрузки (влияние инерции зубчатых колёс, возникающей при пусках, разгонах, торможении и останове).

Нормальная распределённая нагрузка определяется по формуле:

.

Нормальная расчётная сила определяется по формуле:

, где.

19.3 Расчёт зубчатых передач на изгиб зубьев

Принимаем, что известны числа зубьев z ₁ и z ₂ колёс передачи и момент нагрузки M ₂ на ведомом колесе. Неизвестным является модуль m, от которого зависит геометрический размер колёс. Для его определения рассмотрим расчётную схему (рис. 22.2), соответствующую случаю, когда напряжения в основании зуба наибольшие.

Принимаем, что расчётная сила F _пр приложена вдоль линии зацепления в вершине зуба. Считаем, что сила трения F _тр пренебрежимо мала, и в зацеплении находится один зуб. Зуб рассматривается как консольная балка, защемлённая у основания. Неточность расчёта компенсируется эмпирическими коэффициентами.

Расчёт ведётся для наихудшего случая, который соответствует приложению расчётной силы F _пр в точке B, так как именно в этой точке плечо изгибающего момента максимально. Для упрощения вычислений принимают коэффициент перекрытия x равным единице. Приложение силы F _пр переместим в точку A на оси симметрии зуба.

В проекциях на ось симметрии зуба можем получить:

F _изг = F _пр ^. cosa - изгибающая сила;

F _сж = F _пр ^. sina - сжимающая сила.

Обозначим плечо, на котором действует сила за h_p.

Рис. 22.2

Для дальнейшего упрощения F _изг заменяют условной касательной силой F, действующей на делительной окружности в процессе передачи крутящего момента M ведущим колесом.

F _изг = F = M / r, где r = d /2.

Эпюры напряжений изгиба s _изг, сжатия s _сж и результирующего напряжения s _р показаны на рис. 6.2.

Расчёт ведём по результирующему напряжению по волокнам материала, испытывающему растяжение, то есть для точки B. Опыт показывает, что именно в этом месте зуба начинается его разрушение, приводящее к излому, несмотря на то, что с противоположной стороны напряжение по абсолютному значению больше (напряжение сжатия материала зуба).

Результирующее напряжение в точке B:

M - изгибающий момент от силы F _пр ^. cos a’;

a’ - угол профиля зуба в вершине, отличающийся от угла в точке профиля зуба на делительной окружности;

b - ширина зубчатого венца колеса;

s - толщина зуба в опасном сечении.

Учитывая, что

M = F _пр ^. h _p ^. cosa’ и

, получаем:

Произведём замену силы F _пр моментом M, умножим правую часть выражения на m/m:

Величина в скобках числителя безразмерная. Она зависит от числа зубьев и смещения инструмента, изменяющего толщину зуба в опасном сечении. В связи с этим выражение, входящее в предыдущую формулу:

,

называют коэффициентом прочности зуба.

Вводя этот коэффициент, получаем:

.

Произведём замену b = y _m ^. m, тогда:

.

Формулу используют при проверочных расчётах, когда имеется возможность применить готовую передачу с известными размерами.

Находим выражение для модуля:

.

Полученную формулу используют при проектировочных расчётах.

Коэффициент y _m = 3…16 для прямозубых колёс; y _m = 10…25 для косозубых колёс.

Значения коэффициента прочности зуба Y _F можно определить по таблицам в зависимости от числа зубьев колеса и коэффициента смещения исходного контура.

19.4. Расчёт зубчатых колёс на контактную прочность.

Расчёт ведётся для закрытых зубчатых передач, то есть передач, помещённых в герметичный корпус со смазывающей жидкостью. Исходной является формула Герца для расчёта контактных напряжений при контакте деталей по цилиндрическим поверхностям:

,

где q _n - давление, нормальное к поверхности зуба; - приведённый модуль упругости; - приведённый радиус кривизны; - коэффициент Пуассона.

Из накопленного опыта эксплуатации зубчатых передач следует, что наибольший износ поверхности зубьев происходит в зоне полюса зацепления. Рассмотрим расчётную схему, соответствующую этому случаю (рис. 22.3):

Обозначим M ₂ момент сопротивления нагрузки. Вывод формулы расчёта σ_н произведём для случая, когда a _w= a, a_w = a, r _w1 = r ₁ и r _w2 = r ₂. Контакт зубьев в полюсе зацепления можно рассматривать как контакт цилиндрических поверхностей, имеющих радиусы эвольвент в точке P r ₁ и r ₂.

Подсчитаем r _пр, выразив предварительно r ₁ и r ₂ через r ₁, r ₂ и a:

r ₁ = r ₁ ^. sina;

r ₂ = r ₂ ^. sina;

.

Учитывая, что задано передаточное отношение, введём его в полученную формулу.

i ₁₂ = w ₁/ w ₂ = r ₁/ r ₂.

Заменим r ₁ и r₂ на a и i ₁₂. Решая их относительно r ₁ и r ₂, получаем:

;.

Учитывая полученные значения, можно выразить r _пр:

.

Подставляем полученное значение в формулу Герца:

.

Заменяем нормальное давление q _n окружным q:

.

Заменим величину q через момент M ₂:

,

тогда:

Введём в формулу коэффициенты:

Z _Н - коэффициент, учитывающий форму соприкасающихся поверхностей:

(при a =20⁰ Z _Н = 1,77);

Z _м - коэффициент, учитывающий механические свойства материалов колёс:

,

Z _ξ - коэффициент, учитывающий влияние торцевого перекрытия зубьев (для приборов средней точности расчёта принимают Z_ξ ≈ 0,9).

Получим:.

Будем исходить из условия, что s_Н ≤ [s_Н], где [s_Н] известно. Тогда получим:

.

Задаемся отношением ширины венца колеса к межосевому расстоянию, то есть y_a=b/a, тогда получаем формулу, которую используют для проверочного расчёта:

.

Отсюда получаем формулу для определения межосевого расстояния, которая применяется при проектировочном расчёте: