Свойства векторного произведения векторов

1°. – коллинеарные векторы;

2°. ;

3°. ;

4°. .

. (2.11)

Основные приложения векторного произведения.

1) Вычисление площади треугольника (параллелограмма). Из курса математики средней школы известно, что площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угламеждуними, что совпадает с половиной модуля векторного произведения векторов, которые построены на сторонах треугольника. Таким образом,

,

где S площадь треугольника с вершинами в точках А, В, С, (рис. 2.9).

2) Вычисление высоты треугольника (параллелограмма).

Вычислим площадь треугольникадвумя способами:

,

где h – высота треугольника, опущеннаяиз вершины В (рис. 2.9). Из этого равенства получаем:

.

Пример. 2.1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А (1, 1, 1), В (1, 2, 3), С (3, 2, 1) и высоту, опущенную из вершины В на сторону АС (рис. 2.9).

Решение. Пусть , тогда