Смешанное произведение векторов и его свойства

Пусть – три произвольных вектора.

Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, т.е., будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости.

Смешанным произведением векторов называется число равное скалярному произведению векторного произведения векторов на вектор т.е. Геометрический смысл смешанного произведения определяется следующей теоремой.

Теорема 2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда V, построенного на векторах , взятому со знаком "+", если тройка векторов правая, и со знаком "–", если тройка векторов левая.

Если векторы компланарны, то смешанное произведение рано нулю, т.е.

Теорема 2.2. В смешанном произведении векторов знаки векторного и скалярного произведений можно поменять местами, т.е.

Так как справедлива теорема 2.2, смешанное произведение обозначают символом .

Найдем выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей. Пусть

тогда по формулам (2.9), (2.11) находим:

Основные приложения смешанного произведения векторов

1) Вычисление объема тетраэдра (параллелепипеда), построенного на векторах (рис. 2.10).

Если векторынекомпланарны, то по теореме 2.1

. (2.13)