Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества

Множество, операции над множествами, обозначения

Глава 1. Ведение

Часть 1. Дифференциальное исчисление

Операции над графиками

1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики

В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.

Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.

Примеры:

N - натуральные числа, Z - целые числа, Q - рациональные числа, R - вещественные числа, [ a,b ]– отрезок, (a, b) – интервал, (a,b ],[ a,b) – полуинтервалы.

Элемент принадлежит множеству x E, элемент непринадлежитмножеству x E.

Подмножество A Ì E.

Æ- пустое множество E Í E.

Обозначение множества перечислением - { a, b, c }.

Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x: x удовлетворет свойству P }.

Пример: N = { x Î Z: x > 0}; [ a,b ]={ x: a £ x £ b }

Дополнение множества A (или разность двух множеств)

E \ A= { x Î E: x Ï A }

Рис. 1.1

Пересечение двух множеств A Ç B= { x: x Î A и x Î B }

Рис. 1.2

Если два множества не пересекаются, то это можно записать в виде A Ç B= Æ.

Объединение двух множеств A È B = { x: xÎA или x Î B }

Рис. 1.3

Основные операции над множествами

Произведение множествA ´ B = {(x,y): x Î A и y Î B }.

Произведение множеств

Пример R² = R ´ R - плоскость.

Даны множества A и B. Отображение из A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - соответствие или закон (обозначим его f), которое каждому a A сопоставляет единственное b Î B. Обозначения: A B, f: A ® B, b=f (a).

a - прообраз, b - образ при отображении f.

Отображение из A в B называется взаимно-однозначным,если

1) разные элементы из A имеют разные образы,

2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A.

Эквивалентные множестваA ~ Bили множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств.

Счетное множество A ~ N.

Пример: Множество рациональных чисел счетно.

Одно из важных свойств счетных множеств:

Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума. Множество действительных чисел R - несчетное множество, это множество является множеством мощности континуума.