Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

2 3 4 5 6 7 8

Ограниченное множество. Точные грани

Формула Муавра

Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

zⁿ=rⁿeⁱⁿ ^j =rⁿ (cos n j + i sin n j). (3)

Формула (3) доказывается индукцией по n.

Умножение комплексных чисел

При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n, докажем ее для n +1. Имеем:

, ч.т.д.

Для заданного найдем, удовлетворяющее уравнению.Другими словами, найдем корень n -ой степени из комплексного числа. Имеем rⁿeⁱⁿ ^j=r eⁱ ^y Þ n j=y+2p k, kÎ Z, r= откуда получаем формулы

которые используются для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса. Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный.

Пример. Вычислить. В этом случае, поэтому принимает три значения:

Рис. 1.7

Замечание: Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.

1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Ограниченность и грани множества.

Ограниченное сверху множествоE: $ b " x Î E: x £ b.

b - верхняя грань множества:" xÎE:x £ b.

Ограниченное снизумножество: $ a " x Î E: x ³ a.

a - нижняя граньмножества: " xÎE: x ³ a.

Точная верхняя грань множества:b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:

1) (b - верхняя грань) " x Î E: x £ b.

2) (нет меньшей) "e>0 $ x Î E: x > b- e.

Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множествоE: $ b " x Î E:.

Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E¢, где E¢ - зеркальное к E множество, E¢= { xÎR: (-x) ÎE }.

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и a Î E. Обозначим через [ a ₁, b ₁] отрезок, если в нем есть точки из E. В противном случае через [ a ₁, b ₁] обозначим отрезок

Рис. 1.8

Отметим свойства этого построенного отрезка:

1) " xÎE: x £ b ₁.

2) E Ç[ a ₁, b ₁] ¹ Æ.

Эту процедуру повторим для [ a ₁, b ₁], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [ a_k,b_k ], удовлетворяющих свойствам:

1)" xÎE: x £ b_k.

2) E Ç[ a _k, b _k] ¹ Æ.

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ a_k,b_k ]с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой. Через [ a_k₊ ₁ ,b_k₊ ₁] обозначим тот из отрезков, который имеет непустое пересечение с E. Если оба содержат

Рис. 1.9

точки из E, то [ a_k₊ ₁ ,b_k₊ ₁] пусть будет правый отрезок. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b_k - a_k= (b - a) / 2 ^k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

1) " x Î E: x £ c.

Предположим противное: $ x Î E:x>c, возьмем, для него существует тогда, откуда следует b_n < x, что противоречит условию x Î[ a_n,b_n ].

Рис. 1.10

2)"e> 0$ xÎE: x > c - e.

Для любого e существует n: b_n - a_n < e. Выберем какое либо x Î[ a_n,b_n ]. В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того

c-x£ b_n - a_n < e. Таким образом, найдено требуемое x.

Рис. 1.11

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b ₂, b ₁, b ₁ <b ₂. Возьмет e = b ₂ - b ₁ > 0. Поопределению точной верхней грани (для b ₂)$ x Î E: x > b ₂ - e = b ₁, что противоречит тому, что b ₁ верхняя грань.