Вещественные числа. Некоторые понятия математической логики (Дж

Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

Примеры:

	Квантор	Субъект	Связка	Предикат
	Все	числа	являются	не рациональными
	Некоторые	натуральные числа	-	четны

В последнем случае подразумевается связка “являются”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Суждения бывают истинными или ложными. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком или.

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P (каждый из S удовлетворяет свойству P)

Некоторые из S являются P (существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P)

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов (или некоторое свойство, характеризующее этот класс). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком ". Некоторые из, существует - экзистенциальныекванторы. Квантор существования обозначается значком $. Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме (логической связке соответствует символ двоеточия):

1) " xÎS: P (для любого x из S выполнено свойство P).

2) $ xÎS: P (существует x из S, для котороговыполнено свойство P).

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):

"e> 0 $d> 0 " x,|x - x ₀ |< d: | f (x) – 2 | <e.

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству |x - x ₀ |< d, выполнено неравенство. Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

"eÎ S ₁: P ₁, где S ₁ - класс субъектов, именно: S ₁ = { xÎR,x > 0}, P ₁ - предикат,

P ₁=($ d Î S ₂: P ₂), где S ₂ =S ₁, P ₂ - предикат,

P ₂ = (" x Î S ₃: P ₃), S ₃ = S ₃(d) = { x Î R: |x - x ₀ | < d }, P ₃ – предикат (свойство) |f (x)-2 |< e.

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие), из него выводится свойство B (заключение).

В этом случае говорят A влечет B (из A следует B)и пишут A B. Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A B.

Если к тому же B A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут AÛ B, при этом A и B называются эквивалентными.

Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:

1. квантор " заменяется на квантор $.

2. квантор $ заменяется на квантор ".

3. предикат P заменяется на свое отрицание.

Пример: "e>0 $d>0" x,|x - x ₀ |< d: |f (x)-2 | < e.

его отрицание $e >0 "d>0 $ x,|x - x ₀ |< d: |f (x)-2 | ³ e.

Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:

1." x: P.

2.$ x: P.

Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна. Например, для первого суждения. Если для любого x выплнено P, то отрицанием будет: найдется x для которого P не будет выполнено. Это означает, что. Если эта теорема доказана для простейших суждений 1 и 2, то остается еще раз заметить, что любое суждение можно представить, как составное и последовательно применять доказанное утверждение для простейших суждений, составляющих данное суждение.

Метод математической индукции

Имеется последовательность свойств P_n. Если доказано свойство P ₁ и для всех k:

P_k P_{k+ 1}, то свойства P_n справедливы для всех n N.

Рассматривается множество R, со следующими свойствами

1. Свойство упорядоченности

Для любых элементов этого множества a, b выполнено: либо a < b, либо a = b, либо a > b

1.1 a < b, b < c Þ a < c (свойство транзитивности).

Определение: (a < b) или (a = b), то пишут a £ b.

2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R² в R: " a,b ® a+b.

2.1 a + b = b + a (коммутативность).

(в терминах суждений можно было бы написать

" a:(" b: a + b = b + a)).

2.2 a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность).

2.3 $0 "a Î R: a + 0 = a.

2.4 " a $ противоположный - a: a + (-a) = 0.

Определение: b – a = b + (-a).

2.5 a < b Þ a + c < b + c, (" c).

3. Свойства операций умножения (Имеется отображение " a,b ® ab).

3.1 a b = b a (коммутативность).

3.2 a (b c) = (a b) c (ассоциативность).

3.3 в множестве существует элемент обозначаемый 1, такой, что

" a Î R: 1 a = a.

3.4 " a ¹0$ a ^{- 1}(обратный): a a ^{- 1} = 1.

Определение:.

3.5 a < b и c > 0 a c < b c.

a < b и c < 0 a c > b c.

4. Связь операций

4.1 (a + b) c = a c + b c (дистрибутивность).

Определение

| a | =

Свойства: | a + b | £ | a | + | b |, | | a | - | b | | £ | a – b |.

5. Свойство Архимеда (постулат Архимеда)

	Из двух неравных линий, двух неравных поверхновтей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее чило раз.
	Архимед.

" a $ n Î N: n > a.

Следствие: " a> 0 " b $ n Î N: na > b.

6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.

Вначале некоторые определения.

Отрезок или сегмент - [ a,b ] = { x:a £ x £ b }, b - a – длина отрезка.

Система вложенных отрезков.Система отрезков {[ a_j,b_j ]} называется системой вложенных отрезков, если "k: [ a_{k+ 1} ,b_{k+ 1}]Ì[ a_k,b_k ].

Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы один a Î R, общий для всех отрезков.

Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

"e>0 $ N " n>N: b_n -a_n < e.

Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ a_k,b_k ] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x, y и x < y. Тогда

" n: a_n £ x < y £ b_n Þ " n: y – x £ b_n - a_{n .}

Возьмем e = y – x. Для него$ N, " n > N: b_n - a_n < e, что противоречит предыдущему неравенству.

Примеры работы с символом суммы.

Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов

C_n^k + C_n^k-1=, где, n! = 1×2×…× n,

Действительно, распишем подробно сумму биномиальных коэффициентов

= = = =.

Доказанное свойство является одним из свойств треугольника Паскаля. В таблице в левом столбце указана степень бинома. По стронам треугольника проставляются единицы, а каждый биномиальный коэффициент внутри треугольника получается сложением двух, стоящих над ним коэффициентов.

n

Биномиальные коэффициенты

Треугольник Паскаля

Пример 2: Доказать равенство.

=. В первой сумме сделаем замену индекса суммирования k+ 1 =m, k=m- 1. Когда k меняется в пределах 0, …,n индекс m будет изменяться в пределах от 1до n+ 1. В результате этой замены получим: = =. В последнем равенстве суммы и, очевидно, совпадают и, таким образом, в результате получается разность.

Пример 3: Доказать по индукции равенство (бином Ньютона), где.

Формула верна при n = 1. Предположим, что она верна для n, докажем ее для n+ 1.

= =

(замена m=k+ 1) = = = = =.

1.2. Комплексные числа

Определение комплексного числа и свойста комплексных чисел.