Несобственные пределы

Предел последовательности

Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Глава 2. Последовательности

2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.

Определение. Последовательность { a_n } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, { a_n }: n® a_n.

Ограниченность сверху. $ b " nÎN: a_n £ b. Такое b называется верхней гранью последовательности { a_n }. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. $ a " n Î N: a_n ³ a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. $ c " n Î N: |a_n| £ c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1) ⁿ }, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup { x_n }:

1) " n Î N: x_n £ b (b есть верхняя грань).

2) "e>0 $ n Î N: x_n > b - e(никакое меньшее число не является верхней гранью).

Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ¹ sup{ x_n }.

b ¹ sup{ x_n }означает отрицание b = sup { x_n }. Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или выполнено 1) $ n Î N: x_n > b,

или выполнено 2) $e > 0 " n Î N: x_n £ b - e.

Монотонно возрастающая последовательность { a_n }: " n Î N: a_n £ a_{n+ 1}.

Строго монотонно возрастающая последовательность { a_n }: " n Î N: a_n < a_{n+ 1}.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

запись на кванторах

{ x_n } сходится (у последовательности есть конечный предел).

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность { x_n }:.

Замечание. { x_n } ® a Û x_n=a+ a _n, где a _n - бесконечно малая последовательность.

Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).

Отметим, что и.

Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию.

В определении и в определении можно писать:

и.

Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a- e, a+ e) называется e - окрестностью точкиa.

Окрестностью -¥ называется множество вида (- ¥ ,b).

Окрестностью +¥ называется множество вида (b,+¥).

Окрестностью ¥ называется множество вида { x: |x|>b } =

= (- ¥ ,-b)È (b,+ ¥). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности { x_n }, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

2.2. Теоремы о пределах последовательностей

Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.