2014-02-02
1753
Алгебраическая форма записи
Свойства комплексных чисел
Определение комплексного числа
Множество комплексных чисел определяется, как множество упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.
Два комплексных числа z 1, z 2 равны z 1 = z 2, если равны их вещественные и мнимые части
z 1 = z 2 Û {Re z 1 = Re z 2, Im z 1 = Im z 2 }.
Операции сложения и умножения определяются по следующим правилам:
Сложение z 1 = (x 1 ,y 1), z 2 = (x 2 ,y 2), z 1+ z 2 = (x 1+ x 2 , y 1+ y 2).
Сложение комплексных чисел
Умножение.
Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).
Геометрическая интерпретация. Комплексное число z= (x,y)можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.
|
|
|
Рис. 1.4
Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.
1) z 1 +z 2 = z 1 + z 2 .
2) z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3.
3)обозначим = (0, 0),тогда для любого z будет выполнено z + = z.
4) " zÎ C можно определить противоположное комплексное число -z= (- x,-y), которое обладаетследующим свойством:.
5) z 1 z 2 = z 2 z 1.
6) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3.
7)определим комплексную единицу: = (1,0), тогда "z: z = z.
8)для "z¹ существует обратное комплексное число z -1:
Существование обратного числа. Пусть z= (x,y). Будем искать число
z -1 =(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам:. Решая эту систему, получим
.
Частное двух комплексных чисел определяется по формуле.
9) Свойвство дистибутивности: z 1(z 2 +z 3) =z 1 z 2 +z 1 z 3.
Рассмотрим отображение c (x)из R в C:, где xÎR, C. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим С. Отображение c (x) взаимно-однозначно, причем
1) c (x+y) = c (x) +c (y).
2) c (xy) = c (x) c (y).
3) c (0) =
4) c (1) =
Следствие: c (-x) =-c (x), c (x -1) =c (x)-1 или c (1/ x)=1/ c (x).
Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0)называется вещественной осью.
Мнимая единица. Введем обозначение i= (0,1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Отметим, что
Рассмотрим запись x+iy= (x,0)+(0,1)(y, 0)=(x,y) =z, таким образом можно записать z= (x,y) =x+iy. Представление комплексного числа z= (x,y) =x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y) =iy называется мнимой осью.
|
|
|
Для z= (x,y), определяется комплексно сопряженное число. На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.
Модуль комплексного числа определяется по формуле:. Отметим, что.
Рис. 1.5
Пример. Для представления комплексного числа в алгебраической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя:. В результате получим:
Определение аргумента комплексного числа.
Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2p). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg. Например, для первой четверти комплексной плоскости arg z = arctg y/x.
Тригонометрическая форма представления комплексного числа:
z = x + iy = r (cosj + i sin j), (1)
где j = Arg z,.
Рис. 1.6
Формулы Эйлера.
Введем обозначения
ei j = cos j + i sin j, откуда следует, что
cos j =, sin j =.
Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле.
Свойства символа ei j. Непосредственно из определения следует
ei (j+y) = ei j ei y, Þ (ei j) n=ein j.
Проверка: =
+.
С другой стороны тоже самое получится, если перемножить:
= +
+.
Используя обозначение ei j комплексное число можно представить в виде
z = rei j (2)
Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.
