Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность { x_n } и последовательность натуральных чисел { n_k }, 1£ n ₁ <n ₂ <…<n_k<n_{k+ 1} <…, тогда числовая последовательность { y_k }, называется подпоследовательностью последовательсти { x_n }.

Пример: x_n= sin n, n_k= 2 k, = sin2 k.

Замечание. Отметим, что из условия n_k < n_{k+ 1}следует, что

k n_k (доказывается индукцией по k).

Теорема 1. Если(a - число или символ ), то для любой ее подпоследовательности { y_k } ,,будет выполнено:.

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов { x_n }, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}, ч.т.д.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последавательность лежит на

[ a,b ]É { x_n }.

Разделим отрезок [ a,b ] пополам, обозначим [ a ₁ ,b ₁] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { x_n }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a ₁ ,b ₁], его индекс обозначим n _1.

Разделим отрезок [ a ₁ ,b ₁] пополам, обозначим через [ a ₂ ,b ₂] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности { x_n }. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [ a ₂ ,b ₂] и имеющий индекс больший, чем n ₁, его индекс обозначим n _2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность. Система отрезков [ a_k,b_k ]представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (b_k-a_k= (b-a)/2 ^k). Общую точку обозначим c. Так как cÎ [ a_k,b_k ], то. Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе). Просто договоримся частичным пределом не считать.

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {r_n} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {x_n} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {x_n}.

Следствие. Если некоторая окрестность aсодержит конечное число членов последовательности, то aне является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный).

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ¥ используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть, тогда. Условие n_k> n_{k- 1}можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности +¥ имеется бесконечно много членов последовательности.