Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Арифметические операции над пределами

Переход к пределу в неравенствах

Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x ₀ Î (a,b) и f (x) £ g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.

Аналогично, для случая f (x) <g (x).

Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x ₀ Î (a,b) и f (x) < g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.

Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне.

Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.

1),, если $.

2), если существуют конечные пределы,.

3), если существуютконечные пределы,.

Следствие:, если существуетконечный предел.

4) $ Þ$

5) g(x)¹0,, $ Þ$

Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.

Определение. Бесконечно малой в x₀ называется функция f (x) такая, что

Свойства бесконечно малых функций

1) Критерий существования конечного предела функции

Û $ б.м. функция a(x) при x®x ₀: f (x) =A+ a(x).

2)a(x),b(x)б.м. Þ a(x) + b(x)б.м..

3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.

4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.

Определние. f (x), определенная в проколотой окрестности x ₀, называется бесконечно большой б.б. в т. x ₀, если.

5) Если a(x) б.м. при x®x ₀ и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥.

Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x ₀.

Пишут,если

Аналогично определяется O при x®x ₀+0, x®x ₀- 0, x® ±¥, x® ¥.

Пример: f (x) =O (1), x® ¥означает локальную ограниченность функции в ¥.

Определение. Если при x®x ₀, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x ³ ,x ²являются функциями одного порядкапри x® 1.

Определение o (о малое). Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x ₀. Пишут f (x) =o (g (x)), x®x ₀, если $$ бесконечно малая a(x) при x®x ₀, такая, что

" x Î: f (x) = a(x) g (x).

Аналогично определяется o при x®x ₀+0, x®x ₀- 0, x® ±¥, x®

Пример: f (x) =o (1), при x®x ₀означает, что f (x)б.м. при x®x ₀.

Некоторые примеры работы с символами o для случая x® 0.

o (xⁿ) ± o (xⁿ)= o (xⁿ),

x^m o (xⁿ) = o (xⁿ⁺^m),

c o (xⁿ) = o (xⁿ) (c-константа),

o (xⁿ) ± o (xⁿ⁺^p) = o (xⁿ), здесь p натуральное.

o (xⁿ⁺^p)/ x^p= o (xⁿ)В частности, o (x^p)/ x^p= o (1).

o (a_n xⁿ± a_n+ ₁ xⁿ⁺ ¹±…± a_n+p x^n+p) = o (xⁿ).

Если a,b бесконечно малые и b =o (a), то говорят, что b бесконечно малая более высокого порядка, чем a.

Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x ₀ (говорят так же, в окрестности x ₀), если выполнено хотя бы одно из двух условий

, (в этом случае g называется главной частью f при x® x ₀)

(f - главная часть g при x® x ₀).

Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при x®x ₀.

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f (x) =h (x) g (x), = 1.

Замечание 3. Если, например, g (x)¹0, то первое условие можно записать в виде.

Определение. Если для некотрого C выполняется:

f (x) ~ C при x®x ₀, то f (x) называется бесконечно малой порядка при x®x ₀(- положительное вещественное число). Вместо условия x®x ₀ может быть. Если для некотрого C выполняется f (x) ~ C при x®x ₀, то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при x®x ₀.

Так, например, функция ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2).

Если для некотрого C выполняется: f (x) ~ при x®x ₀, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®x ₀.

Если f (x) б.б. при x®¥ и f (x) эквивалентна при x® ¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®¥. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при.

Замечание. Если f (x)б.м. порядка, то1/ f (x)будет б.б. порядкаи наоборот.

Примеры. Определить характер функций в 0, 1,+¥.

~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2)

~ при x® 1,

~ при x® (бесконечно большая порядка 3).

~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2),

~ при x® 1 (бесконечно малая порядка 1),

~ при x® (бесконечно большая порядка 4).

Пример. Функция при x® 0 является бесконечно малой порядка.

Пример. Функция при x® 1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа, что ~ при x® 1.

Пример. = ~, при x®.

При вычислении пределов полезна следующая теорема.