2014-02-02
472
Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).
Рис. 3.3
Откуда следуют неравенства
(1)
Далее = и из (1) получаем, что
Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:
.
.
Доказательство неравенства
Рис. 3.3.1
Дуга (на рис. 3.3.1 - это) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например,, см. рис. 3.3.2.
Рис. 3.3.2
Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды
,
Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.
3.4.2. Второй замечательный предел.
Лемма 1.Если xn=a, { nk } - последовательность натуральных чисел такая, что nk=+ ¥, то =a.
Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.
Доказательство: По условию xn=a, т.е.
|
|
|
"e$ Ne " n>N e: |xn - a|< e. (2)
Далее, используя второе условие nk=+¥ можно для Ne найти K " k >K: nk>Ne. Тогда из (2) будет следовать, что
| - a|< e, ч.т.д.
Лемма 2. Если xk= 0, xk >0, то =e.
Доказательство: Так как xk= 0, то можно считать, что для всех справедливо:. Для целой части числа, nk= будут выполнены неравенства:
,
Поэтому
(3)
Пределы последовательностей, согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:
Переходя к пределу в (3) при k® ¥, по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.
Следствие 1..
Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности { xk }типа Гейне при x® 0+0будет выполнено =e и, следовательно,.
Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности { xk }типа Гейне при и, поэтому,.
Следствие 2.,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/ y.
Следствие 3., если -бесконечно малая при
Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа:). Вычислить предел, где и
В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что. Тогда и если мы найдем предел, то Отметим, что здесь может быть: - число,. -может быть числом или символом.
Пример. Вычислить предел.
.
=
= ~.
= ~ ~
Поэтому ~ и. Откуда получаем, что.
Выпишем часто используемые основные эквивалентности
sin x ~ x, x® 0,
~,
~ x, x® 0.
Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.
Стандартные эквивалентности
3.5 Непрерывные функции
Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.
|
|
|
3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве
Определение. Функция f(x), заданная на множестве X, содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0, XÉ, называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке и.
Определение непрерывности в точке по Коши
Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X ,|x - x 0 |< d: |f (x) - f (x 0) |< e.
Определение непрерывности в точке по Гейне
Функция определена в точке и " xn, { xn } ®x 0,{ xn }Ì X: f (xn) =f (x 0).
Непрерывность справа:
Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X, x 0 £ x < x 0 + d: |f (x) - f (x 0) |< e.
Непрерывность слева:
Функция определена в точке и "e>0$d>0" x Î X, x 0 - d < x £ x 0 : |f (x) - f (x 0) |< e.
Непрерывность на множестве:
Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
3.5. 2.Простейшие свойства непрерывных функций
1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.
Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.
2) Сохранение знака непрерывной функции:
f (x 0)>0Þ$ U (x 0):.
3) Если f (x) непрерывна в точке x 0, g (x) непрерывна в x 0, g (x 0)¹0, то функция непрерывна в x 0.
4) Функция |f (x) | непрерывна, если непрерывна f (x).
5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Если f (x) определена в окрестности x 0 и непрерывна в x 0,
g (x) определена в окрестности t 0 и непрерывна в t 0, g (t 0) =x 0. Тогда в некоторой окрестности тоски t 0 определена суперпозиция F (t) =f (g (t)) и F (t) непрерывна в t0.
Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.
Классификация точек разрыва
Если f (x) не является непрерывной в точке x 0 , то x 0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x 0, или, функция претерпевает разрыв в точке x 0.
