Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {x_n} называется ее верхним пределом,, где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что. Аналогично, определяется нижний предел.

Замечание. Если, (число или символ), то. Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.

Без доказательства.

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество конечных частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {x_n}.

Условие Коши:"e > 0$N"n > N"p:|x_n+p - x_n|<e

Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится. Пусть e >0. Для e¢=e/2$N"n>N:|x_n -a|<e/2 для тех же n (n>N) и "p будет выполнено |x_n+p -a|< e/2. Таким образом, для "n>N"p:|x_n+p - x_n|£ |x_n+p - a|+|a - x_n| < e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть e >0. Для

(1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1 оказались в окрестности числа, следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность, пусть. Докажем, что является пределом последовательности. Для ранее выбранного e

(2)

Тогда можно выбрать достаточно большое так, что и. Тогда, при будет выполнено:. Ч.т.д.

2.4. Свойства последовательностей

Операции над последовмтельностями, свойства пределов.

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.Сумма двух последовательностей{ x_k }, { y_k }определяется, как{ x_k + y_k }. Произведение последовательности { x_k } на число c определяется, как последовательность { c x_k }.

Последовательность a_n называется бесконечно малой (б.м.), если.

Последовательность a_n называется бесконечно большой (б.б.), если.

1) если | a _n| б.м., то{a _n } б.м.

2) если a _n, b _n б.м., то {a _n+ b _n } б.м.

Следствие. {a _n+ b _n+…+ g _n } б.м., если все a _n, b _n,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей { x_k }, { y_k } называется последовательность { x_ky_k }.

3) произведение б.м.последовательности на ограниченную является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. является б.м..

4) {1/a _n } б.б., если {a _n } б.м. a _n¹ 0.

Доказательство: Возьмем произвольное, тогда для или Таким образом,, следовательно, последовательность - бесконечно большая.

5) {1/b _n } б.м., если {b _n } б.б., b _n ¹0.

6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б.м. {a _n } такой, что

7) { x_n },{ y_n } сходятся, то сходится { x_n+y_n } и

Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен ±¥.

8) { x_n },{ y_n } сходятся, то сходится { x_ny_n } и.

Доказательство.

Следствие 1. Если { x_n } сходятся, то сходится { сx_n } и

Следствие 2. x_n®a Þ

9) x_n®a Þ |x_n|®|a|.

10) x_n®a, y_n®b, y_n ¹0, b ¹0 Þ

Лемма. Если y_n®b, y_n ¹0, b ¹0, то | 1/y_n| ограничена.

Доказательство:, тогда для

Таким образом,

Доказательство свойства 10).

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.

Глава 3. Предел функции. Непрерывность

3.1. Основные понятия, относящиеся к функции

Основные понятия, связанные с функциями. Элементарные функции.

3.1.1. Определение функции. Монотонность. Обратная функция. Суперпозиция

Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.

множества вещественных чисел. Функция определяется, как отображение из X в. X называется областью определения функции. Областью значений функции называется множество всевозможных значений, когда.

Определение. Функция f (x) называется монотонно возрастающей на X, если для. Функция f (x) называется монотонно убывающей на X, если для. Функция f (x) называется строго монотонно возрастающей на X, если для. Функция f (x) называется строго монотонно убывающей на X, если для.

Если различным значениям xотвечают различные значения y,то " y Î Y $! x Î X: f (x) =y.

Полученная зависимость y®x называется обратной функцией и обозначается f ^-1. Область значений прямой функции становится областью определения обратной функции и наоборот, область определения прямой функции превращается в область значений обратной функции.

Теорема. Если f (x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция.

Для доказательства этого утверждения достаточно отметить выполнение условия единственности x в выражении " y Î Y $! x Î X:f (x) =y, которое следует из строгой монотонности функции.

Графиком функции называется геометрическое место точек на плоскости вида: или, что тоже, геометрическое место точек.

Суперпозиция g:T®X,f:X®Y,:T®Y. Пишут также

y = f (g (t)).

3.1. 2.Ограниченность. Точные грани

Пусть функция f определена на X.

Функция ограничена на множестве: $ b " x Î X:|f(x)|£b.

Функция ограничена сверху на множестве X. $ b " x Î X: f (x)£ b.

Функция ограничена снизу на множестве X. $ b " xÎX: f (x)³ b.

Точная верхняя грань

1." x Î X: f (x)£ b

2."e>0$ x Î X: f (x) >b - e

Верхняя грань достигается, если $ x Î X: f (x) =b.

3.1. 3.Элементарные функции

Функции: константа y=const, степенная y=x^a, показательная y=a^x (a >0) ,ее обратная,, тригонометрические и их обратные называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, полученная применением конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией.

Примеры: Многочлен n степени

= a ₀ + a ₁ x+…+ a_{m- 1} x^{m- 1} + a_mx^m (a_m ¹0),

дробно рациональная функция

3.2. Предел функции

Предел функции. Критерий Коши. Локальные свойства функции, связанные с пределами.

3.2.1. Определение предела по Коши

В начале выпишем базовые определения разного типа окрестностей.

Окрестность числа a обозначается U _e(a) = (a- e, a+ e), e > 0,

окрестность символа + ¥ обозначается U_b (+ ¥)=(b,+ ¥) (b – любое число),

окрестность - ¥ обозначается U_a (-¥) = (-¥ ,a) (a – любое число),

окрестность ¥ обозначается U_c (¥) = (- ¥ ,c)È(c, ¥) (c – любое число).

Проколотая окрестность, a - число.

Проколотая окрестность = U_b (+¥).

Проколотая окрестность = U_a (-¥).

Проколотая окрестность = U_c (¥).

Определение предела функции по Коши: Задана функция f(x) с областью определения X. Будем предполагать, что X содержит некоторую проколотую окрестность точки a.

, если "e>0$d>0"x,0<|x - a|<d, xÎX: |f(x) - A|<e.

Геометрическое определение: A – является пределом функции f (x) при x® a, если для любой окрестности A существует проколотая окрестность a, такая, что (xÎ ÇX)Þ(f(x)ÎU(A)).

В геометрическом определении A, a числа или символы. Всего в этом определении содержится 16 различных вариантов определения предела (-число, -число,).

Рис. 3.1

Пример:

"b$d>0"x,0<|x – x₀|<d, xÎX: f(x)>b.

"c$a"x, x<a, xÎX: |f(x)|>c.

3.2. 2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа

Пусть f (x) определена на интервале X= (c,a), где a – число. Предел слева определяется следующим образом:

.

Стандартное обозначение одностороннего предела слева:. Аналогично определяется предел справа, именно.

.

Стандартное обозначение одностороннего предела справа:

3.2. 3. Связь предела с односторонними пределами

Пусть функция f(x) определена на (a,b) за исключением, быть может, точки x ₀Î(a,b).

Теорема. Для того, чтобы существовал предел, (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.

Доказательство этого утверждения следует непосредственно из определения.

Замечание. Теорема верна и для A =+¥,-¥,но формально не верна для A =¥.

Пример: f (x)=1/ x, x ₀=0,

3.2.4. Определение предела по Гейне

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x® x ₀ (или в x ₀) заданной функции f (x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) { x_n } ÌX.

2) x_n ¹ x ₀.

3)

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x®x ₀ – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) { x_n } ÌX.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x® x ₀ + 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) { x_n }Ì X.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x®¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1){ x_n }Ì X.

2) ------

3) = ¥.

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x®+¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1){ x_n }Ì X.

2) ------

3) =+ ¥.

Последовательностью типа Гейне { x_n } при x® -¥ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1){ x_n }Ì X.

2) ------

3)

Определение предела по Гейне. Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f (x) при x® a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при x®a будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Kоши ÞГейне (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть по Коши. Пусть { x_k }последовательность типа Гейне при x®a. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность такая, что

(xÎ ÇX)Þ (f(x)ÎU(A)). (1)

Так как =a, то для U(a) существует N "n>N: x_nÎ U(a). Поскольку x_n ¹ a, то "n>N: x_nÎ, следовательно "n>N: x_nÎ ÇX откуда, согласно (1), будет выполнено f(x_n)ÎU(A), т.е..

Доказательство. Гейне Þ Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное: $ e ₀>0"d>0$ x, 0 <|x - a|< d: |f (x) - A|³ e₀. Для d _n= 1/ n будет существовать x_n, 0< | x_n - a|< 1/ n такое, что |f (x_n) -A|³ e₀. Построенная последовательность { x_n }является последовательностью типа Гейне при x®a, тогда по условию, но это противоречит неравенству |f (x_n) - A| ³ e₀.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание 1. Определения односторонних пределов так же эквивалентны по Коши и по Гейне.

Замечание 2. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы,. Пусть { x_k }последовательность типа Гейнепри x®a, тогда,. По свойству пределов последовательностей будет выполнено. Таким образом, для любой последовательности типа Гейне { x_k }оказыватся выполненным равенство:. Последнее означает, что.

3.2. 5. Критерий Коши существования конечного предела функции

Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a.

Условие Коши для f (x)в окрестности a (для предела):

"e> 0$" x¢,x¢¢ ÎÇ X: |f (x¢) - f (x¢¢) | < e.

Сформулируем условие Коши для других случаев.

Односторонние пределы:

Предел справа (): "e>0$d>0" x¢,x¢¢ Î(a,a+ d)Ç X: |f (x¢) - f (x¢¢) |< e.

Предел слева (): "e>0$d>0" x¢,x¢¢ Î(a- d, a)Ç X: |f (x¢) - f (x¢¢) |< e.

Условие Коши для +¥ (): f определена в окрестности +¥

"e>0$ b " x¢,x¢¢ Î(b,+ ¥)Ç X: |f(x¢) - f(x¢¢)|< e.

Условие Коши для -¥ (): f определена в окрестности

-¥

"e>0$ a " x¢,x¢¢ Î(-¥, a)Ç X:|f (x¢) - f (x¢¢) |< e.

Условие Коши для ¥ (): f определена в окрестности ¥

"e>0$ a " x¢,x¢¢ Î(-¥ ,a)Ç (¥ ,a)Ç X:|f (x¢) - f (x¢¢) |< e.

Теорема. (Критерий Коши) Для существования конечного предела, где a число или символ н. и д., чтобы f удовлетворяла условию Коши в окрестности a.

Необходимость. Пусть e> 0, для e/2 $" x ÎÇ X:

|f (x) - A|< e/2. Для x¢,x¢¢Î Ç X получим требуемое неравенство

|f (x ¢) - f (x ¢¢) |<|f (x ¢) - A|+|f (x ¢¢) -A| < e/2 + e/2 = e.

Достаточность. Пусть e>0. Тогда $ " x¢,x¢¢ ÎÇ X:|f (x ¢) -f (x ¢¢) |< e. Если { x_n } последовательность типа Гейне для a, то из сходимости { x_n } ®a и условия x_n¹a следует, что существует N"n>N, "p:x_nÎ и x_n+p Î. Тогда для

" n>N, " p: |f(x_n) - f(x_n+p)|< e. Таким образом, последовательность { f (x_n)} будет фундаментальна, поэтому существует некоторый предел. Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне { y_n } предел будет также равен B. Составим последовательность

, { z_n } = { x ₁, y ₁, x ₂, y ₂, x ₃, y ₃, … }.

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне при x®a и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.

3.2. 6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Область определения X функции f содержит некоторую проколотую окрестность.

Функция f локально ограничена в точке a, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Для числа a определение локальной ограниченности выглядит следующим образом:

$ M $d > 0" x Î U _d(a)Ç X: |f(x)| £ M.

Для a = +¥ $ M $ b " xÎU_b (+ ¥)Ç X:|f(x)| £ M.

Теорема. Функция f (x), имеющая конечный предел в при x® a, локально ограничена в a.

Доказательство: e = 1, M= max{ |A- 1 |,|A+ 1 |,f (a)} или M= max{ |A- 1 |,|A+ 1 | }(последнее в случае, если функция не определена в a).

Замечание. Теорема верна и в случае,.

3.2. 7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке

Будем предполагать, что область определения X функции f содержит некоторую Тогда справедлива следующая

Теорема.

В этом случае говорят, что функция f (x) сохраняет знак числа A в некоторой окрестности a.

Доказательство. Для

e =.

Замечание 1.

Замечание 2. Теорема верна и в случае

Рис. 3.2

3.2. 8. Предел сложной функции

Пусть функция f (x) определена на X, функция g (t) определена на T с областью значений GÌX. Тогда на T определена суперпозиция F (t) =f (g (t)) ,t Î T. При этих условиях справедлива

Теорема. Пусть g (t) определена на

T= (a,b)\{ t ₀} ,t ₀Î (a,b) .Функция f (x) определена на (a,b)\{ x ₀},

и g (t)¹ x ₀, если t¹t ₀, =A.

Тогда

Доказательство: Возьмем e> 0для него $d>0" x Î:

f (x)Î U _e(A), далее, для dсуществуетh>0" t Î :g (t) Î, если t ¹ t ₀, то g (t)¹ x ₀. таким образом, g (t)Îи следовательно f [ g(t)]Î U _e(A).

3.3 Свойства пределов

Дальнейшие свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.