Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933

Порядок соприкосновения кривых

Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Понятие кривизны и ее вычисление

Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k= 1/ R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x (t), y (t), для краткости будем использовать обозначения:

x ₀= x (t ₀), x = x (t), y ₀= y (t ₀), y = y (t), u ₀= x ¢(t ₀), u = x ¢(t), v ₀= y ¢(t ₀), v = y ¢(t).

В процессе рассмотрения t ₀ будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках(x ₀, y ₀), (x, y).

..

Найдем точку пересечения этих прямых.

или

Умножим первое уравнение на u, а второе на– v и сложим.

(uv ₀ - vu ₀) p = u (x ₀- x) + v (y ₀ – y) откуда

.

Далее перейдем к пределу при t ® t ₀ (u ® u ₀, v ® v ₀). Получим

.

Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки

Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра кривизны называется радиусом кривизны.

Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной

.

Рис. 5.6

Окружность с центром в (X ₀, Y ₀) и радиуса R ₀ называется соприкасающейся окружностью.

Рассмотрим кривуюg, заданную в виде y = f (x), x Î[ a,b ]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t Î[ a,b ]. Тогда

Пусть g₁, g₂ представлены функциями y=f ₁(x), y=f ₂(x) и пересекаются в точке(x ₀, y ₀). Кривые g₁, g₂ имеют порядок соприкосновения n в точке (x ₀, y ₀), если

, для всех k=0,1,…,n, и.

Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:

Функции n +1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x ₀ и

Для доказательства обозначим f (x)= f ₂(x) - f ₁(x). Тогда в окрестности точки x ₀ имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда

k =0,1,…, n +1.

Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971.

2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.– М.: Наука, 1968.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.

4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973.

5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.

6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.

7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.

10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.

11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998.

12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.