Асимптоты функций

Выпуклость функции, точки перегиба

Хорда, соединяющая точки M ₁(x ₁, f (x ₁)), M ₂(x ₂, f (x ₂))графика функции f (x)задается функцией

y=L (x, x ₁, x ₂) = + (*)

Это проверяется подстановкой координат x ₁, x ₂в правую часть (*).

Определение. Функция f (x) называется выпуклой вверх на [ a,b ], если для "x ₁ <x<x ₂ из [ a,b ]

(1)

Рис. 4.18

Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1).

Теорема (Достаточное условие выпуклости)

Если f непрерывна на [ a,b ], дважды дифференцируема на (a,b) и f¢¢ (x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.

Доказательство. Для любых, a £ x ₁< x<x ₂£ b имеем

=

Участвующие в этих соотношениях величины расположены на оси в показанном на рисунке порядке.

Рис. 4.19

Определение. Точка x ₀ называется точкой перегиба функции f, если в точке x ₀ существует касательная и в некоторой окрестности точки x ₀ график f лежит по разные стороны от касательной.

Рис. 4.20

Теорема 1. (Необходимое условие точки перегиба)

Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x ₀, то f¢¢ (x ₀)=0.

Доказательство. Противное f¢¢ (x ₀) ¹ 0. По теореме о сохранении знака f¢¢ (x) сохраняет знак в окрестности точки x ₀. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной. не меняет знак.

Рис. 4.21

Теорема 2 (Достаточное условие точки перегиба)

1) $ f¢¢ (x) в U (x ₀) и f¢¢ (x ₀)=0

2) f¢¢ меняет знак при переходе через точку x ₀.

Тогда x ₀ точка перегиба.

Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

.

Следствие. Если f¢¢ (x ₀)=0 и f¢¢¢ (x ₀)¹ 0, то x ₀ – точка перегиба.

Доказательство. При данных условиях f¢¢ будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x ₀.

Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x®+¥, если.

Пусть f определна на полуоси x < c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x®-¥, если.

Пример.

В дальнейшем рассматривается лишь случай +¥.

Теорема. Пусть f (x) определена на [ c,+ ¥). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы

1)

2)

Пример.

Рис. 4.22

Наклонные асимптоты: в +¥ линия y= - x+ 1, в -¥ линия y = x+ 1.

Вертикальная асимптота

Функция f определена на (a,a+d). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если, аналогично при x®a - 0.

Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t ₀, для которых и. Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений

1)

2) (y(t) – a x(t)) = b,

при условии, что указанные пределы существуют.

Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x ₀ параметрически заданных функций находят t₀ такие, что,. Для горизонтальной асимптоты,