2014-02-02
469
Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
Общая схема построения графиков
Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.
1° Область определения. Симметрия (четность, нечетность). Периодичность.
2° Асимптоты
3° Интервалы монотонности, экстремумы (заполняется таблица, как показано ниже)
4° Дополнительные исследования (если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п.)
Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:
1) стационарные точки
2) особые точки (где не существует производная)
3) граничные точки.
Пример.
Асимптоты y/x® 1, x® ±¥
при x® ±¥.
Асимптота y=x -1
Особые точки (в первом приближении только для первой производной) 0,2,3
| t | (-¥,-1) | -1 | (-1,1) | (1,¥) | |
| + | + | - | |||
| x | -¥ -3 | -3 | -3 1 | 1 ¯ -¥ | |
| Диапазон x | (-¥,-3) | (-3,1) | (-¥,1) | ||
| dy/dx | - | + | + | ||
| y(x) | ¥¯-2 | -2 | -22 | -¥2 | |
| d2y/dx2 | +È | +È | -Ç |
Рис. 4.23
|
|
|
Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1+ cos t)в окрестности точек t = 0, t = p.
=.
=
Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции. Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Глава 5. Элементы теории кривых
5.1 Векторная функция скалярного аргумента
Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.
На плоскости
, r (t)=x(t) i +y(t) j.
В пространстве
, r (t)=x(t) i +y(t) j +y(t) k.
Операции над вектор функциями
1) p (t), q (t) p (t) + q (t).
2) l(t) r (t).
3) Скалярное произведение (p (t), q (t)).
4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p (t), q (t) ].
Определение
r (t)= a
Или, что тоже, | r (t) – a | =0.
Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i, j, k.
Геометрическая интерпретация.
Рис. 4.26
Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела
r (t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции
r (t) = a
Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим
r(t) = max { |x (t) -ax|,| y (t) -ay |,| z (t) -az | }. Для любого t справедливо неравенство
r(t) £ = | r (t) – a |.
С другой стороны | r (t) – a | =
£ r(t).
Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.
Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r (t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t 0. Можно рассматривать односторонние производные.
|
|
|
Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.
1) Предел, если он существует, единственен.
2) Предел суммы и произведения на обычную функцию
(p (t) + q (t)) = p (t) + q (t).
(l(t) p (t)) = l(t) p (t).
3) (p (t), q (t))=(a, b).
a = p (t), b = q (t).
Доказательство. Пусть p (t)=, q (t)=, a =, b =. Тогда (p (t), q (t))= = (a, b).
4) [ p (t), q (t)]=[ a, b ], если a = p (t), b = q (t).
Для краткости введем обозначения:
.
[ p (t), q (t)]= [ a, b ].
