Спрямляемая кривая

18 19 20 21 22 23 24

Определение. Кривая

Гладкие кривые

Правила дифференцирования вектор функций

Дифференцируемость вектор функции

Непрерывность вектор функции

r (t) определена на [a,b] и t ₀Î(a,b)

r (t) непрерывна, если r (t) = r (t ₀)

Аналогично определяется непрерывность справа, слева.

Непрерывность на множестве.

Свойства

p (t), q (t), l (t)непрерывны в точке t ₀ Þ непрерывны p (t) + q (t), l (t) p (t), (p (t), q (t)), [ p (t), q (t)].

Пусть r (t) определена в окрестности точки t ₀.

Производной в точке t ₀ называется нижеследующий предел, если он существует,

r ¢ (t) = (r (t) – r (t ₀))/(t – t ₀).

Теорема. Производная вектор функции r (t) в точке t ₀ существует тогда и только тогда, когда существуют x¢ (t ₀), y¢ (t ₀), z¢ (t ₀) и r ¢ (t ₀) =.

Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции.

Замечание. Если у r (t) существует r ¢ (t ₀) в точке t ₀,то r (t)непрерывна в этой точке.

Определение. Векторная функция r (t) называется дифференцируемой в точке t ₀, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство

r (t) - r (t ₀) = a (t – t ₀) + e (t) (t – t ₀), (1)

где e (t) = 0.

Векторная функция a D t = a (t – t ₀) = a dt называется дифференциалом функции r (t)в точке t ₀и обозначается d r = a dt.

Условие (1) можно записать в координатной форме

(2)

где a =(a_x, a_y, a_z), e = (e _x, e _y, e _z).

Теорема. Дифференцируемость r (t) в точке t ₀ эквивалентна дифференцируемости в точке t ₀ координат функции r (t).

Следствие. Для дифференцируемости r (t) в точке t ₀ необходимо и достаточно существование r ¢(t ₀).

Геометрический смысл производной r (t):

Рис. 4.27

1) (a r) = r + a r ¢.

2) (r ₁ + r ₂) = (r ₁¢ + r ₂¢).

3) (r ₁, r ₂) = (r ₁¢, r ₂) + (r ₁, r ₂¢).

Для краткости будем рассматривать плоские вектора.

r ₁=, r ₂=. Тогда (r ₁, r ₂)=

и (r ₁, r ₂)=

= =

=(r ₁¢, r ₂) + (r ₁, r ₂¢).

4) [ r ₁, r ₂ ] = [ r ₁¢, r ₂ ] + [ r ₁, r ₂¢ ].

g: tÎT

называется непрерывной, если непрерывны x (t), y (t), z (t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Для заданной параметризацииt Î[a, b] начало кривой – точка A (x (a) ,y (a) ,z (a)), конец кривой – точка B (x (b) ,y (b) ,z (b)).

Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с началом.

Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x (t), y (t), z (t) непрерывно дифференцируемы.

Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие " t: r ¢ (t)¹0.

Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.

5.2 Длина кривой

Длина кривой. Спрямляемость.

Разбиенем отрезка [ a,b ] называется набор точек t ₀, t _1, …. t_n таких, что a=t ₀< t ₁<….< t_n=b. Разбиение отрезка будем обозначать D = { a=t ₀< t ₁<….< t_n=b }.

Пусть g: r (t) -непрерывно дифференцируемая на [ a,b ]кривая и D={ a=t ₀< t ₁<….< t_n=b } – некоторое разбиение отрезка [ a,b ]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках A_k= (x (t_k), y (t_k), z (t_k)), k= 0,1,…, n. Радиус вектор вточку A_k обозначим r _k. Длину ломаной обозначим s (g, D)

s (g,D)= | r _k+ ₁ – r _k|

Рис. 5.1

рисунок для плоского случая

Определение. Кривая g называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань, где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям D отрезка [a,b]. Эта величина s называется длиной кривой g.

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.

Рис. 5.2

Длина основания очередного прямоугольника равна половине длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.

Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.

Доказательство. Пустьg = g¢+g¢¢. Для любого разбиенияDкривойgсуществуют разбиенияD¢, D¢¢кривыхg¢, g¢¢такие, что s(g, D) £ s(g¢, D¢)+s(g¢¢, D¢¢). На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды разбиения кривой g оставляем без изменения

Рис. 5.3

Так как AB £ AC + CB, то отсюда получаем соотношение для длин кривых s £ s ¢ + s ¢¢.С другой стороны любая параD¢, D¢¢разбиений кривых g¢, g¢¢образует разбиениеDкривойg, так чтоs(g, D) = s(g¢, D¢)+s(g¢¢, D¢¢), поэтому справедливо обратное неравенство s ³ s ¢ + s ¢¢.

Теорема 2. Если кривая g непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству

где,,

,,,, t Î[a,b].

Доказательство. Пусть D={a= t ₀< t ₁<…< t _n=b}, тогда по теореме Лагранжа

| r (t_k ₊₁ – r (t_k)|= =

= и

(b - a) = £ s(g, D)=

= £ =

= (b - a).

Для верхней грани получим (b - a) £ s £ (b - a).

Откуда и следуют требуемые неравенства.

Теорема 3. Если кривая g гладкая, то длина дуги s (t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и

= | r ¢(t) |

Доказательство. На участке [ t,t +D t ] по теореме2 выполнены неравенства

(1)

Рис. 5.4

Требуемое равенство получится при переходе к пределу приD t ®0, если учесть, что левая и правая части (1)будут иметь общий пределНапример,Строгое монотонное возрастание функции s (t) следует из условиявыполненного для гладкой кривой.

Следствие 1. Для гладкой g можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s = s (t).

Действительно, для этой функции существует обратная t = t (s) и, следовательно,(t)=(t (s))

В этом случае | d r / ds |=| r ¢ (t) t ¢(s)| =|s ¢(t) t ¢(s) |= =1.

Следствие 2. dt, ds ²= dx ²+ dy ²+ dz ², ds – элемент длины дуги.

Пример. Длина цепной линии y = ch x.

Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t, t Î[0, t ₀].

Рис. 5.5

s ¢(t)=| r ¢(t)|=| i + sh t j |= = ch t. Таким образом, s ¢(t) = (sh t)¢. Согласно следствия из теоремы Лагранжа s (t)= sh t + C. s (0)=0 Þ s (t) = sh t.