Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Максимальные и минимальные значения функций (экстремумы)

Определение. Пусть f (x) задана на [ a,b ] и x ₀Î(a,b), x ₀ называется точкой локального максимума функции f (x), если в некоторой окрестности точки x ₀ выполнено неравенство f (x)£ f (x ₀).

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x)< f(x₀).

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f (x) – f (x ₀)в некоторой проколотой окрестности точки x ₀.

Теорема (Необходимое условие экстремума).

Если x ₀ – точка экстремума функции f и существует f¢ (x ₀), то f¢ (x ₀)=0.

Доказательство. Следует из теоремы Ферма.

Определение. Точка, в которой f¢ (x ₀)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f (x) =x ³.

Теорема. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть f непрерывна в точке x ₀. Если в некоторой проколотой окрестности точки x ₀ функция f (x) дифференцируема и f¢ (x) меняет знак при переходе через точку x ₀, то x ₀ есть точка строгого экстремума, причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [ x ₀ - d, x ₀] и на

[ x ₀, x ₀ + d].

Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x ₀, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x ₀ причем f¢ (x)£0 на(x ₀ - d, x ₀), f¢ (x)³0 на (x ₀, x ₀ + d),

тогда в точке x ₀ локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f¢ (x) ³ 0 на(x ₀ - d, x ₀), f¢ (x) £ 0 на (x ₀, x ₀ + d).

Пример. |x|.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть x ₀ – стационарная точка функции f и $ f¢¢ (x ₀)¹0, тогда, если f¢¢ (x ₀)>0, то в точке строгий минимум, если f¢¢ (x ₀)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f¢¢ (x ₀)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или. Тогда для x > x ₀ будет

f¢ (x) > 0, а для x < x ₀: f¢ (x) < 0.

Аналогично для случая f¢¢ (x ₀)<0.

Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема

Рис. 4.16

Объем коробки равен(a- 2 x)² x. Для поиска максимального объема вычислим производную

f¢ (x) = (4 x ³ - 4 ax ² +a ² x) ¢= 12 x ² - 8 ax+ a ². Нули производной

Таким образом, x =.

Рис. 4.17

Пусть x ₀ стационарная точка функции f, f (x) n -раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x ₀ причем

f¢ (x ₀) = f¢¢ (x ₀) =…= f ^{(n -1)}(x ₀)=0, f ⁽ⁿ⁾(x ₀)¹0. В этом случае по формуле Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство.

1) n= 2 k

Если f ^{(2 k)}(x ₀)>0,то в x ₀наблюдается строгий локальный min.

Если f ^{(2 k)}(x ₀)<0,то в x ₀наблюдается строгий локальныйmax.

2) n= 2 k+ 1

x ₀ не является точкой экстремума, так как приращение функции f (x) – f (x ₀)имеет разные знаки по разные стороны от точки x ₀.

Пример f (x) = ch x + cos x -, в точке 0.

f¢ (x) = sh x – sin x -, f ¢(0)=0,

f¢¢ (x)=ch x – cos x –x ², f¢¢ (0)=0,

f¢¢¢ (x)=sh x + sin x – 2 x, f¢¢¢ (0)=0,

f ⁽⁴⁾(x) = ch x + cos x – 2, f ⁽⁴⁾ (0)=0,

f ⁽⁵⁾(x)=sh x - sin x, f ⁽⁵⁾ (0)=0,

f ⁽⁶⁾(x) =ch x - cos x, f ⁽⁶⁾ (0)=0,

f ⁽⁷⁾(x) = sh x + sin x, f ⁽⁷⁾ (0)=0,

f ⁽⁸⁾(x)=ch x + cos x, f ⁽⁸⁾ (0)=2 >0. Поэтому в точке 0имеется строгий локальный min.