2014-02-02
368
Пример 5.
Пример 4.
Пример 3.
Пример 2.
Пример 1.
Найти 
.
Сделаем подстановку 
, тогда 
и, следовательно, 
Найти 
. Полагаем 
, тогда 
и
Найти 
Полагаем 
; тогда 
,
Найти 
. Полагаем ; тогда ,
(предполагается, что a>0).
Найти 
. Полагаем 
, тогда 
.
Найти 
. Полагаем 
, тогда ,
Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. Изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
- Метод интегрирования по частям
Пусть 
и 
- функции имеющие непрерывные производные. Тогда 
. Интегрируя это равенство, получаем
или 
.
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла 
к вычислению интеграла 
, который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким – либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
- Интегралы вида
, 
, 
, где 
- многочлен, k – число. Удобно положить 
, а за dv обозначить остальные сомножители. - Интегралы вида
, 
, 
, 
, 
. Удобно положить 
, а за u обозначить остальные сомножители. - Интегралы вида
, 
, где a и b – числа. За 
можно принять функцию 
.
