Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
Действительно, , , , . Поэтому ,
где - рациональная функция от t.
Удобны следующие правила:
1. Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;
2. Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;
3. Если функция четна относительно и , т. е. , то делается подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение: Т.к. подынтегральная функция не меняется при перемене знака у , то применим подстановку , тогда .
.
Пример 2. Вычислить .
Решение: Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку , положим . Тогда
.
2. Интегралы типа , .
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
1. Подстановка , если – целое положительное нечетное число, т.е. .
Мы получили интеграл от рациональной функции.
2. Подстановка , если – целое положительное нечетное число, т.е. .
|
|
3. Если и - целые неотрицательные четные числа (), то подынтегральное выражение преобразуют с помощью следующих формул понижения степени: .
4. Подстановка , если - четное отрицательное целое число.
Пример 3. Вычислить .
Решение:
.
Пример 4. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда
.
Пример 5. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда
.
Пример 6. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, поэтому применим формулы понижения степени:
.
Пример 7. Вычислить .
Решение: Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Пример 8. Вычислить .
Решение: Понизим степень тангенса:
.