Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу (Рис. 10), определяется формулой:
. (11)
Рис. 10
Пример 15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение: Сделаем чертеж (Рис. 11, 12).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 11
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции .
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен:
. (12)
Рис. 12
Пример 16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (Рис. 13).
Решение: В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
|
|
.
Рис. 13