Площадь криволинейной трапеции

Вычисление площадей плоских фигур

1. Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева и справа – прямыми и .

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (Рис.3) вычисляется по формуле:

. (7)

Рис. 3

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение: Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (Рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 4

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (8)

В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (Рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (9)

Рис. 4

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

Рис. 5

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему . Получим , . Следовательно:

;

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями - сверху, - снизу, слева прямой , справа прямой .

Пусть, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и , а слева и справа – прямыми и (Рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (9)

Рис. 6

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Данная фигура изображена на Рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (7) в качестве возьмем x, а в качестве – . Получим:

(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Рис. 7

Пример 14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):