Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (Рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

1. Для кривой, заданной уравнением ,

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (13)

Пример 17. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение: Из условия задачи имеем . По формуле (13) получаем:

.

2. Для кривой, заданной параметрически уравнениями .

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме , где и - непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина l кривой АВ находится по формуле:

. (14)

Пример 18. Вычислить длину дуги кривой:

,

В данном случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (14).

;