Построение графика функции

При построении графика функции сначала проводят исследование функции. При этом придерживаются следующего (примерного) плана:

1) находят область определения функции;

2) указывают точки пересечения с осями координат;

3) определяют точки разрыва и устанавливают тип разрыва;

4) с помощью первой производной устанавливают интервалы монотонности (т.е. интервалы возрастания и убывания) функции и находят точки экстремума и значения функции в этих точках;

5) с помощью второй производной устанавливают интервалы выпуклости, вогнутости и находят точки перегиба;

6) находят асимптоты функции.

Затем по этим данным строят график функции.

Пример 3. Построить график функции .

Решение. 1) Нулями знаменателя являются и . Следовательно, областью определения функции является множество .

2) Найдём точки пересечения с осями координат:

а) c осью 0x. Найдём нули функции: лишь при x = 0; значит, график функции пересекает ось 0x (или касается оси 0x) в точке O(0; 0) – начале координат;

б) c осью 0y. Для нахождения общей точки графика функции и оси 0y следует найти f(0): f(0) = 0. Поэтому график пересекает ось 0y в точке O(0; 0).

3) Наша функция представляет собой отношение двух многочленов, поэтому она непрерывна всюду, за исключением нулей знаменателя: и x = 8. Найдём левые и правые пределы в этих точках.

Для точки :

;

Отсюда делаем вывод, что является точкой разрыва второго рода.

Для точки x = 8:

;

Поэтому x = 8 также является точкой разрыва второго рода.

4) Имеем

Критическими точками функции являются её стационарные точки , , . Знак совпадает со знаком выражения .

Видно, что функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках , , . Следовательно, точка является точкой максимума (на рисунке ей соответствует «горка»), точка – точкой минимума (ей соответствует «впадина»). Стационарная точка не является точкой экстремума. Найдём значение функции в точках экстремума: f()» –7,57; f()» 25,35.

5) .

Трёхчлен при всех x (его дискриминант меньше 0). Поэтому знак совпадает со знаком дроби .

Составим схему. Видно, что функция выпукла в интервалах (–¥; –4)

и (0; 8) и вогнута в интервалах (–4; 0) и (8; +¥). При переходе через точки – 4, 8, 0 меняет свой знак. Поэтому точка x = 0 является точкой перегиба (в точках x = - 4, x = 8 функция не определена).

6) Так как , , то прямые и