Определение 7.
Оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра называют значение , при котором функция достигает максимума (как функция от при фиксированных ):
Пусть , , — выборка объема из нормального распределения , где , ; и оба параметра , неизвестны.
Выпишем плотность, функцию правдоподобия и логарифмическую функцию правдоподобия. Плотность:
функция правдоподобия:
логарифмическая функция правдоподобия:
В точке экстремума (по ) гладкой функции обращаются в нуль обе частные производные:
Оценка максимального правдоподобия для — решение системы уравнений
Решая, получим хорошо знакомые оценки:
3.1. Распределение «хи-квадрат» и его свойства