Функция от случайной величины

Рассмотрим на вероятностном пространстве {W, F, Р } случайную величину x = x (w). Возьмем обычную числовую функцию ¦(х), х Î Â ¹. Сопоставляя каждому элементарному событию w число h(w) по формуле h(w) = ¦(x (w)), мы получим новую случайную величину h, которую и назовем функцией f от случайной величины x.

Функция h = ¦(x) от дискретной случайной величины x также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина x. Если случайная величина x имеет следующую таблицу распределения

то таблица распределения случайной величины h = ¦(x) определяется так:

при этом, если появляются одинаковые значения ¦(а_i), то соответствующие столбцы надо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Функция h = ¦(x) от непрерывной случайной величины x может быть как непрерывной, так и дискретной (дискретной в том случае, когда множество значений f(x) — не более чем счетное).

Теперь найдем функцию распределения h = ¦(x) по заданной плотности p(t). По определению F_h (x) = Р (h < x) = Р (¦(x (w)) < x). Последнюю вероятность можно определить, используя аксиому «сложения» вероятностей, просуммировав вероятности всех возможных

значений t случайной величины x, для которых ¦(t) < х. Заменяя сумму на интеграл, получаем

Задачу нахождения распределения h можно упростить в некоторых случаях.

1). Пусть ¦(x) —монотонно возрастающая функция. В этом случае событие { f (x (w)) < х } совпадает с событием { x (w) < f ^-1(x)}, где f ^-1 обратная к f функция, и, следовательно,

2). Пусть, кроме того, x — непрерывная случайная величина, а f ^-1 имеет производную (f ^-1(x))¢. Тогда случайная величина h также является непрерывной, и ее плотность распределения определяется с помощью дифференцирования сложной функции

Пример 1. Пусть случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами а и s ². Найдем распределение случайной величины h = е^x. Здесь f(x) = e^х, и f ^-1(x) = ln x. Пользуясь вышеуказанными рассуждениями получаем, что

Отметим, что полученное распределение случайной величины носит название логнормалъного.

Пример 2. Пусть x — случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а и s ². Найдем распределение случайной величины h =(x - а)/ s. Перепишем