Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины

Определение 1. Двумерная случайная величина (x _1, x ₂) называется дискретной, если x ₁ и x ₂ являются дискретными случайными величинами.

Такая случайная величина имеет следующую таблицу распределения:

где a ₁, a ₂, …, a_n … — значения случайной величины x ₁; b ₁, b ₂, …, b_n, … — значения случайной величины x ₂; a p_ij = P (x ₁ = a_i, x _{2 =} b_j) — совместные вероятности значений (x ₁, x ₂).

По этой таблице легко определить распределение вероятностей каждой из случайных величин x ₁ и x ₂ (эти распределения называются частными или маргинальными):

для любого i = 1, 2,..., п,...; аналогичными рассуждениями получим

Нетрудно определить функцию распределения F_x (x ₁, x ₂), где x =(x ₁, x ₂).

Ясно, что

т.е. необходимо просуммировать р_ij по тем значениям i и j, для которых a_i < x ₁, b_j < x _2.

Определение 2. Двумерная случайная величина (x ₁, x ₂) называется непрерывной, если существует такая неотрицательная, интегрируемая на плоскости функция p(t ₁, t ₂), называемая двумерной плотностью (или совместной плотностью распределения случайных величин x ₁ и x ₂), что имеет место

Если здесь предположить, что p(t ₁, t ₂), непрерывная функция по обоим аргументам, тогда

Приведем некоторые свойства совместной плотности распределения случайных величин x ₁ и x ₂.

1) p(t ₁, t ₂) ³ 0.

3) P ((x ₁, x ₂) Î D) = òò _D p(t ₁; t ₂) dt ₁ dt ₂ где D Î Â ² — некоторая область.

Далее, воспользовавшись свойством 3 двумерной функции распределения (см. 2.4.1), имеем

и дифференцируя, получаем выражения для одномерных плотностей:

Пример 1. Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть израсходовано определённое количество средств. В таблице приведено возможное количество проданных в течение месяца заводов () и объём средств, израсходованных на рекламу (). Каждой паре значений (a_i,b_j) случайных величин (,) поставлена в соответствие вероятность появления этой пары.

	0,12	0,15	0,10
	0,08	0,10	0,12
	0,05	0,10	0,18

Требуется составить таблицы распределения вероятностей для каждой из величин и и выразить условный закон распределения вероятностей величины при = 2.

Воспользуемся формулами

Таким образом, вероятность события равна сумме вероятностей в i – м столбце, а вероятность равна сумме вероятностей в j - й строке. В результате получаем таблицы распределения вероятностей:

P	0,25	0,35	0,4

P	0,37	0,3	0,33

Находим условные вероятности величины при =2:

P(=1/=2)=P (=1,=2)/P (=2)=0,10/0,4=0,25;

P(=2/=2)=P (=2,=2)/P (=2)=0,12/0,4=0,30;

P(=3/=2)=P (=3,=2)/P (=2)=0,18/0,4=0,45.

Пример 2. Пусть плотность распределения случайного вектора x = (x _1, x ₂) постоянна в области D ={ a ₁£ t ₁£ b ₁, a ₂£ t ₂£ b ₂}, т.е.

Найдем С, пользуясь свойством 2 совместной плотности:

Отсюда находим С=1/(b ₁ - a ₁)(b ₂ - a ₂).

Такое распределение называется равномерным в области D.

Найдем частные плотности распределения случайных величин x ₁ и x ₂

Мы получили, что случайные величины x ₁ и x ₂ имеют равномерные распределения с плотностями