Момент и мощность всего ветряка

Момент всего ветряка получим, проинтегрировав уравнение (8.1.27) в

пределах от r 0

до R, где r 0

– расстояние от оси ветряка до начала лопасти и

R – расстояние от оси ветряка до конца лопасти.

e

2 2

u

R R 1 -m z

M =ò dM

r 0

=ò 4p r

r 0

r V

1 + e

zu + m

dr. (8.3.1)

Этот момент обычно выражают в отвлеченных величинах и обознача-

ют через M с чертой вверху. При этом правую и левую части равенства

(8.3.1) делят на p R 3

тельнымрадиусом:

r V 2

и вводят обозначение

r = r

R

, называемое относи-

u

R e 1-m z

r

M =ò81+ e

r &

zu +m

dr. (8.3.2)

Уравнение (8.3.2) является основным для вычисления характеристики

моментов. Им можно пользоваться при переменных значениях e вдоль r, ес-

ли предположить, что элементарные струи не влияют друг на друга, что практически допустимо при плавных изменениях e.

Для ветряка с постоянным e по радиусу мы можем вынести e за знак

интеграла:

ò

u

e R 1-m z

M =8

r

u

1 + e z

+m r &

dr. (8.3.3)

Этот интеграл можно решить, если пренебречь кручением струи, кото-

роеубыстроходных ветряков незначительно.

Следовательно, мы можем принять

u 1 =0

и относительное число мо-

дулей zu

из уравнения (8.1.8) можем выразить так:

w r + u w r w r

z = 1 @ =

= z. (8.3.4)

u

V - v 1

V - v 1

V (1 - e)

1 - e

Для конца лопасти имеем:

u

Z @ w R

. (8.3.5)

V - v 1

Разделив уравнение (8.3.4) на (8.3.5), получим:

r @ zu

R Z u

; (8.3.6)

dr @ dzu

. (8.3.7)

R Z u

Сделав ряд преобразований уравнения (8.3.3) и пренебрегая малыми

z 3

величинами m 2 и

u 0,получим:

Z

3

u

⎡ ⎛

r 0 ⎞⎤

4 e ⎢

⎛ r 2 ⎞

⎜ Z 1- ⎟⎥

M = ⎢ 1+m

⎜1- 0 ⎟-2m⎜ u + R ⎟⎥. (8.3.8)

(1+ e) Zu

()⎜

⎢ ⎝

⎣⎢

⎟

R 2 ⎠

⎜3 Z

⎜ u

⎝

⎟⎥

⎟

⎠⎥⎦

Подставляязначение zu

из уравнения (8.3.4), получим:

⎡ ⎛

4 1 - ⎢⎛ 2 ⎞ ⎜

1- r 0

2 ⎞⎤

r

⎥

1- 0 ⎟

2

M = e = e ⎢⎜1- r 0

⎟-2m⎜ Zu

+ R

- R ⎟⎥. (8.3.9)

⎝

R

⎠

Z 1+ e ⎢⎜ 2 ⎟

⎢

⎣

⎜3 Z

⎜ u

⎝

2 ⎟⎥

⎟⎥

⎠⎦

Мощность, развиваемая ветряком, равна

(8.3.2)момент равен:

M w, а так как из уравнения

M = M p R 3

r V 2

, (8.3.2а)

томощность, развиваемую ветряком, можно написать так:

T = M w= M p R 3 r V

w, (8.3.10)

Подставивсюда

Z =w R,вместоw= ZV

,получим:

V R

T = M p R 2 r V

Z, (8.3.11)

Заменив M его значением из уравнения (8.3.9), получим:

⎡

1 - e ⎢⎛

r 2 ⎞

⎛

r 0

⎜ Z 1 -

2 ⎞⎤

r

⎥

1 - 0 ⎟

2

T =4 e

⎢⎜1 - 0 ⎟-2m⎜ u + R

- R ⎟⎥p R 2 r V

. (8.3.12)

⎝

R

⎠

1 + e ⎢⎜ 2 ⎟

⎢

⎣

⎜3 Z

⎜

⎝

2 ⎟⎥ 2

u

⎟⎥

⎠⎦

Разделив мощность ветряка на секундную энергию потока, получим

коэффициентиспользованияэнергии ветра:

⎡ ⎛ r

r 2 ⎞⎤

T 1- e ⎢⎛

r 2 ⎞

⎜ 1-0

Z R

1- 0 ⎟⎥

R 2

x = = 4 e

⎢⎜1 -

0 ⎟- 2m⎜ u + -

⎟⎥. (8.3.13)

p R 2 r V

1+ e ⎢⎝ R ⎠

⎢⎣

⎜3 Zu

⎜

⎝

2 ⎟⎥

⎠

⎟⎥⎦

Так как:

4 e 1- e =x

1 + e i

то:

и x = x i h

⎛ r 2 ⎞

⎛

r 0

⎜ Z 1-

2 ⎞

r

1- 0 ⎟

h=⎜1-

0 ⎟-2m⎜ u +

R - = R 2

⎟. (8.3.14)

R

⎜ 2 ⎟

⎝ ⎠

⎜3 Z 2 ⎟

⎜ u ⎟

⎝ ⎠

При выводе этого уравнения не были приняты во внимание потери,

происходящие вследствие образования вихрей, сходящих с концов лопастей,

а также принято кручение уходящей струи равным нулю, что допустимо у быстроходных ветряков.

Следовательно, коэффициент использования энергии ветра, подсчи- танный по формуле (8.3.13), будет значительно выше возможного к получе- нию в практике.